¿Para qué valores de $a, b \in\Bbb R$ existe la inversa de la matriz $A$?

Question

¿Para qué valores de $a, b \in\Bbb R$ existe el inverso de $A$: $$A=\begin{pmatrix} a&b& b &\ldots &b\\ b& a &b &\ldots&b\\ b& b & a &\ldots &b\\ \vdots&\vdots&\vdots& \ddots&\vdots\\ b&b& b&\ldots & a \end{pmatrix}\in M_n$$

Entonces queremos ver para qué valores de $a, b$ se cumple que $\det(A)\neq 0$.

$$\begin{vmatrix} a&b &b &\ldots &b\\ b& a &b &\ldots&b\\ b& b & a &\ldots &b\\ \vdots&\vdots&\vdots& \ddots&\vdots\\ b&b& b&\ldots & a \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a &b &b &\ldots &b\\ b-a& a-b &0 &\ldots&0\\ b-a& 0 & a-b &\ldots &0\\ \vdots&\vdots&\vdots& \ddots&\vdots\\ b-a&0& 0&\ldots & a-b \end{vmatrix}$$

Esto es casi una matriz triangular inferior, solo debería haber ceros en lugar de las $b$s en la 1ra fila. Entonces, si pongo $b=0$, obtendré una matriz triangular inferior. La diagonal principal solo tendrá $a$s en ella, ¿entonces $a\neq 0$? ¿Es así?

Answer 1

$$\mathrm A = (a - b) \mathrm I_n + b 1_n 1_n^{\top}$$

Si $a = b$, entonces $\mathrm A$ es de rango-$1$ y, por lo tanto, no invertible. Si $a \neq b$, utilizando el lema del determinante de la matriz,

$$\det (\mathrm A) = \left(1 + \frac{n b}{a-b}\right) (a-b)^n = (a + (n-1) b) \, (a-b)^{n-1}$$

Así, si $a \neq b$ y $a + (n-1) b \neq 0$, entonces $\mathrm A$ es invertible.

Answer 2

1. si a = b, esta matriz no es invertible.

2. Añadir todas las filas a la primera. En las primeras filas ahora $(n-1)b + a$ en cualquier columna => si $(n-1)b + a$ - la matriz no es invertible

de lo contrario, podemos crear una matriz triangular superior sin ceros en la diagonal