Versión separable de Banach Alaoglu

Question

Tengo una pregunta sobre la siguiente declaración:

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach separable, entonces toda secuencia acotada en $ X^\ast $ tiene un débil $^\ast$ -subsecuencia convergente.

Estoy seguro de que es suficiente $X$ para ser un espacio vectorial normado. Sin embargo, en la mayor parte de mi bibliografía se afirma que debe ser de Banach. ¿Cómo es eso? ¿O estoy equivocado?

Answer 1

Tienes razón, $X$ no tiene que ser completa.

Por el teorema de Banach-Alaoglu, la bola unitaria cerrada de $X^*$ es débil $^*$ -compacto. Dado que $X$ es separable, la bola unitaria cerrada de $X^*$ es metrizable en el débil $^*$ -topología. Si la sucesión está acotada, podemos reducirla al caso de que esté contenida en la bola unitaria cerrada de $X^*$ y el resto sigue.

Answer 2

La demostración de este teorema se basa en dos hechos:

1) La bola de la unidad $B_{X^*}$ es débilmente* compacto para todo espacio normado $X$ .

2) La bola de la unidad $B_{X^*}$ es metrizable débil* para todo espacio normado separable $X$ .

De hecho, si $(x_n^*)$ es una secuencia acotada en $X^*$ entonces existe $M>0$ tal que la secuencia $(x_n^*/M)$ está en $B_{X^*}$ . Por compacidad y metrizabilidad de $B_{X^*}$ con respecto a la topología débil*, tenemos compacidad secuencial. Por lo tanto, existe una subsecuencia $(x_{n_k}^*/M)$ tal que $x_{n_k}^*/M \to x^*$ en débil* para algunos $x^*\in B_{X^*}$ . Por lo tanto, $x_{n_k}^*\to Mx^*$ en débil*.

Esto demuestra que $X$ sólo tiene que ser un espacio normado separable. Algunos autores sólo se preocupan por los espacios de Banach, por lo que no exponen los resultados en su forma más general.