Existencia de una representación matricial de forma triangular superior en bloque para un operador lineal

Question

Dejemos que $T:V \rightarrow V$ sea un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita sobre $F$ . Sea $W \subset V$ sea un subespacio que sea $T$ -invariante. Demuestre que existe una base ordenada $\mathcal{B}$ para $V$ tal que $$[T]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}A & B \\ 0 & C \end{pmatrix}$$ donde $A$ es una representación matricial de ${T|}_W$ .

Sé que si $V$ es la suma directa de dos subespacios invariantes $W_1,W_2$ entonces podemos escribir $[T]$ como una forma de bloque diagonal. Pero no tengo ni idea de cómo demostrar la afirmación anterior. ¿Alguna idea?

Answer 1

Comentario largo:

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$[T]_{\mathcal B}$ significa que tanto los elementos de $V$ y $T(V)$ se expresan como combinaciones lineales de los vectores de la base $\mathcal B$ . Esto siempre es posible porque $T:V\to V\implies T(V)\subseteq V$ .

Dejemos que $B_1=\left\{b_1,\ldots,b_k\right\}$ y que $X$ sea algún complemento directo de $W$ en $V$ con una base $B_2=\left\{b_{k+1},\ldots,b_n\right\}$ .

Ahora, las columnas de $[T]_{\mathcal B}$ son exactamente los vectores $T\left(b_1\right), T\left(b_2\right),\ldots,T\left(b_k\right)$ escritos como combinaciones lineales de $b_1,b_2,\ldots,b_k,b_{k+1},\ldots,b_n$ (en el mismo orden).

@user7530 ya ha señalado $X$ no tiene que ser invariable bajo $T$ .

Eso significa, para algunos $v_1\in X$ Es posible que $T(v_1)\in X$ .

Así que, para algunos $j\in\{k+1,\ldots,n\},\quad T\left(b_j\right)=\sum_{i=1}^n\alpha_ib_i$ , donde $\sum_{i=1}^k\alpha_ib_i$ no es necesariamente $0$ Sin embargo, no podemos expresar $T\left(b_1\right),\ldots,T\left(b_k\right)$ en $b_{k+1},\ldots,b_n$ .

Si es o no $X$ es invariable bajo $T$ sólo afectará al bloque $B$ .

Answer 2

Elige una base ortogonal $B_1$ para $W$ y luego extenderlo a una base ortogonal $\mathcal{B} = B_1 \oplus B_2$ de $V$ .

Ahora examine cómo $T$ actúa sobre los elementos de $\mathcal{B}$ que provienen de $B_1$ y de $B_2$ .

Observe que $B_1$ ser $T$ -no implica de ninguna manera que $B_2$ es $T$ -invariante. Consideremos, por ejemplo $$T(x,y) = (x+y,0).$$

El espacio lineal abarcado por $(1,0)$ es $T$ -pero el complemento abarcado por $(0,1)$ no lo es.