Álgebra lineal, espacio afín y función suelo

Question

Mi pregunta es principalmente: ¿hay un nombre para este tipo de cosas. Me interesa sobre todo encontrar libros o artículos sobre lo que sigue, pero sin siquiera una palabra o un nombre, es bastante difícil buscar información.

Dejemos que $F$ sea la clase más pequeña de funciones $f(x_1,\dots,x_n)$ que contiene las funciones: -constantes reales -proyección sobre un componente (es decir, $x_i$ para algunos $1\le i\le n$ , - $\lfloor f\rfloor$ para algunos $f\in F$ , - $f_1+f_2$ , para $f_1,f_2\in F$ - $cf$ para algunos $c\in\mathbb R$ y $f\in F$

Como afirma Dmitri Zaitsev, las funciones en $F$ son funciones afines a trozos. Pero esta descripción es demasiado general, hay funciones afines a trozos que carecen de la periodicidad proporcionada por la función suelo. Por lo tanto, me gustaría un nombre para $F$ o, al menos, saber qué tipo de propiedad satisfacen las funciones de $F$ .

(Por supuesto, esas funciones se interpretan en $\mathbb R$ , pero si ayuda podría ser $\mathbb Q$ ya que no conozco ningún otro campo en el que $\lfloor\rfloor$ se define, además de $\mathbb Z$ donde la cuestión se vuelve trivial).

Answer 1

Estas funciones son casos especiales de las llamadas afín a una parte (o no con mucha precisión "lineal a trozos" ya que sus piezas son afines, no lineales, ver aquí una explicación de la diferencia entre afín y lineal ).

Formalmente, una función es afín a una parte si su dominio de definición puede descomponerse en una unión disjunta de politopos en cada uno de los cuales es afín. Aquí el politopos son conjuntos definidos por un número finito de ecuaciones e inecuaciones afines.

Para entenderlo mejor, es instructivo ver el caso más simple de un piso $g(x) = \lfloor f(x)\rfloor$ de una única función afín $f$ . Entonces $g$ es constante en las franjas afines $n\le f(x) < n+1$ y el nivel de juego $g=const$ define una de las franjas o un conjunto vacío, dependiendo de la constante.

Un poco más en general, $g(x) = f_0(x) + a\lfloor f(x)\rfloor$ es afín en cada franja, cuyos valores en cada dos franjas difieren en una constante. Ahora los conjuntos de nivel (donde la función construida es constante) son hiperplanos afines paralelos dentro de las franjas (para funciones en posición general).

De forma más general, para una función arbitraria $f(x)$ como en la pregunta, los conjuntos de niveles de cada $\lfloor f_j(x)\rfloor$ es la familia de franjas paralelas $n\le f_j(x) < n+1$ . Entonces $f$ es afín en cada politopo obtenido por la intersección de las franjas. De nuevo, los valores de $f(x)$ en cada una de esas dos intersecciones debe diferir en una constante. Por lo tanto, las funciones construidas de esta manera son muy especiales entre las afines a trozos.

Dada la interpretación anterior, cada conjunto de niveles $g(x)=const$ consiste en una familia de hiperplanos paralelos en cada politopo.

De forma más abstracta, la función suelo $\lfloor t \rfloor$ puede sustituirse por cualquier función constante a trozos valorada en cualquier conjunto, lo que lleva a la misma conclusión.