Encontrar los dos últimos dígitos

Question

Cómo encontrar las dos últimas cifras de $$(3^{1997})$$ ...... Intenté hacer $$(3^{1997})$$ (mod 100) . He llegado a eso $$3^{20}$$ es congruente con 1 (mod 100) . Pero el cálculo se hacía muy largo después de eso . Si alguien puede corregirme (o acortar) mi método. En realidad he obtenido la respuesta como 63 por este largo proceso

Answer 1

Tenemos $3^{20}\equiv 1 \pmod {100}$ y $1997=29.99+17$ por lo que deducimos que $3^{1997}=(3^{20})^{99}\cdot 3^{17}$ Por lo tanto $3^{1997}\equiv 3^{17}\pmod {100}$ . Ahora bien, como $3^{17}\equiv 63\pmod {100}$ entonces $3^{1997}\equiv 63 \pmod {100}$ y obtenemos que los dos últimos dígitos de $3^{1997}$ son $6$ y $3$ .

Answer 2

$100 = 2^2 \cdot 5^2$ Así que $\varphi(100) = 2 \cdot 5 \cdot 4 = 40$ . Eso significa que si $a$ es coprima de $100$ , $a^{40} \equiv 1 \mod 100$ . Desde $1997 = 40 \cdot 50 - 3$ , $$3^{1997} \equiv 3^{-3} \mod 100$$ Ahora $3^{-1} \equiv 67 \mod 100$ (es decir $3 \cdot 67 = 201 \equiv 1 \mod 100$ ), y $67^3 = 300763 \equiv 63 \mod 100$ por lo que concluimos que $$ 3^{1997} \equiv 63 \mod 100$$

Answer 3

A partir del Teorema de Euler, y del hecho de que $\phi(100)=40$ tenemos que $3^{40} \equiv 1 (\bmod{100}).$ Así que $3^{1997} \equiv 3^{2000}3^{-3} \equiv (3^{40})3^{-3} \equiv 3^{-3} (\bmod{100}).$

No es muy difícil obtener una inversa para $3$ modulo $100$ , ya que $1\equiv 201 \equiv 3\cdot 67 (\bmod{100}).$ Así que $3^{1997} \equiv 67^3 \equiv 63 (\bmod{100}).$

Answer 4

Nota que $$3^{100} \equiv 1 \mod 100$$