Encuentra el mayor número $k$ tal que $k| n^{55}-n$

Question

Encuentra el mayor número entero $k$ tal que $k$ divide $n^{ 55 }-n$ , donde $n$ es cualquier número entero.

Esta pregunta fue un reto de mi profesor, aquí está mi intento :

• porque $\left( n \right) \left( n-1 \right) \left( { n }^{ 53 }+{ n }^{ 52 }+{ n }^{ 51 }+...+n+1 \right) \equiv 0 \pmod k$ Por lo tanto $n$ podría ser $2$ ,
  pero mi profesor me dijo que hay un número que es mayor que $2$ .

He intentado resolverlo muchas veces, pero desgraciadamente no he conseguido ninguna solución. Así que espero que me puedan ayudar a enfocar este problema.

Answer 1

Sugerencia $\ $ Por el teorema siguiente deducimos $\,k\mid n^{\large 55}-n\,$ para todos $n$ si $\,k\,$ es un producto de primos distintos $p$ tal que $\,p-1\mid 54$ es decir $\,p =2,3,7,19.\,$ Por lo tanto, el mayor $k$ es su producto $= 798.$

Teorema $\ $ Para los números naturales $\rm\:a,e,n\:$ con $\rm\:e,n>1$

$\qquad\rm n\:|\:a^{\large e}-a\:$ para todos $\rm\:a\:\iff n\:$ es libre de cuadrados, y primo $\rm\:p\:|\:n\:\Rightarrow\: p\!-\!1\:|\:e\!-\!1$

Prueba $\ (\Leftarrow)\ \ $ Dado que un natural libre de cuadrados divide a otro si todos sus factores primos lo hacen, sólo tenemos que demostrar $\rm\:p\:|\:a^{\large e}\!-\!a\:$ para cada primo $\rm\:p\:|\:n,\:$ o, que $\rm\:a \not\equiv 0\:\Rightarrow\: a^{\large e-1} \equiv 1\pmod p,\:$ que, desde $\rm\:p\!-\!1\:|\:e\!-\!1,\:$ sigue de $\rm\:a \not\equiv 0\:$ $\Rightarrow$ $\rm\: a^{\large p-1} \equiv 1 \pmod p,\:$ por el pequeño Fermat.
$(\Rightarrow)\ \ $ Ver esta respuesta .