Distribución de probabilidades

Question

Estoy pensando en un conjunto de n usuarios en Facebook. Entre cada uno de los $\binom{n}{2}$ pares de amigos distintos, digamos que una arista (que indica que las dos personas son amigas) está presente de forma independiente con probabilidad $p$ .

Definamos el recuento de amigos $(FC)$ de una persona $i$ (por ejemplo $FC(i)$ ) es el número de aristas que están conectadas a la persona $i$ .

Estoy tratando de determinar cuál es la forma de distribución de $FC(i)$ sería por ejemplo, geométrica, poisson, normal, uniforme, binomial, etc. y después definir la correlación entre $FC(i)$ y $FC(j)$ ?

Me encantaría cualquier ayuda/pensamiento

Answer 1

Hay $n-1$ bordes disponibles para la persona # $i$ .   Existe una probabilidad independiente $p$ de que alguno de ellos esté conectado.   Esta descripción indica que es una distribución binomial.

$$\begin{align} \mathsf E(C_i) & = (n-1)\,p \\[2ex] \mathsf {Var}(C_i) & = (n-1)\,p\,(1-p) \end{align}$$

La interdependencia de los recuentos de amigos entre las personas $i$ y $j$ se deberá a la arista entre ellos; todas las demás aristas son independientes.   A continuación, utilizamos la Ley de la Expectativa Total para dividir en esta eventualidad.

$$\begin{align} \mathsf {Cov}(C_i, C_j) & =\mathsf E(C_i C_j) - \mathsf E(C_i)\,\mathsf E(C_j) \\[1ex] & = p\,\mathsf E(C_i C_j\mid e_{i,j}=1) + (1-p)\,\mathsf E(C_i C_j\mid e_{i,j}=0) - \mathsf E(C_i)\,\mathsf E(C_j) \\[1ex] & = p\,((n-2)\,p+1)^2 + (1-p)\,((n-2)\,p)^2 - ((n-1)\,p)^2 \end{align}$$

Simplifica y luego calcula la correlación.

Answer 2

Digamos que tenemos $n$ usuarios totales, y estamos tratando de encontrar $FC(i)$ para un fijo $i$ . Para cada uno de los $n-1$ otros usuarios--digamos que el usuario $j$ -hay una probabilidad de $p$ que el usuario $i$ y $j$ son amigos. Como cada arista se añade de forma independiente, para cualquier $k \in \{1,2,\ldots,n-1\}$ tenemos $$ \mathbb{P}[FC(i) = k] = \binom{n-1}{k}p^k(1 - p)^{n-k-1} $$

ya que podemos elegir el $k$ amigos para $i$ para ser amigos, y $p^k(1 - p)^{n-k-1}$ es la probabilidad de que el usuario $i$ es amigo sólo de estos usuarios. Así, la distribución de $FC(i) \sim B(n-1,p)$ es decir $FC(i)$ es binomial.

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Por cierto, lo que estás considerando es un gráfico aleatorio en $n$ nodos, donde cada arista se añade independientemente con probabilidad $p$ . Esto es comúnmente notado como $G(n,p)$ . Su $FC(i)$ término, en la terminología de la teoría de grafos, se denomina grado de vértice $i$ .