Sé que las líneas se generan proyectando geodésicas sobre un hiperboloide a un plano y que el límite del disco proviene del cono asintótico alrededor del hiperboloide, pero no veo por qué las proyecciones intersectan el límite del círculo en un ángulo recto.
Otro punto de vista (que es el tema del libro de John Stillwell "Four pillars of modern geometry"), es una derivación sintética que parte del semiplano superior dotado de su grupo de movimientos rígidos: a saber, el grupo generado por la acción lineal fraccionaria por $PSL_2(\mathbb{R})$ junto con la reflexión a través de la parte superior $y$ -eje.
A partir de esto, construye tu conocimiento de las geodésicas por pasos.
En primer lugar, dado que la parte superior $y$ -es la línea invariante de una reflexión, es una geodésica.
A continuación, utilizando las traducciones $f(z)=z+b$ se ve que todas las líneas verticales de la mitad superior son geodésicas.
A continuación, utilizando la inversión $f(z) = -1/z$ se ve que ciertos semicírculos con puntos extremos en el eje real son geodésicos.
A continuación, utilizando de nuevo las traslaciones, se ve que todos los semicírculos con puntos extremos en el eje real son geodésicos.
A continuación, se comprueba que el conjunto de líneas verticales medias superiores el conjunto de todos los semicírculos con puntos extremos en el eje real es invariante bajo el grupo de movimientos rígidos (basta con comprobar los generadores, $f(z)=az$ , $f(z)=z+b$ , $f(z)=-1/z$ y el reflejo a través de la parte superior $y$ -eje).
A continuación, comprueba que se cumple el primer axioma de Euclides: dos puntos determinan una recta.
Ahora debería estar convencido de que ha encontrado exactamente el conjunto de líneas correcto.
Debo añadir como punto final, que el semiplano superior y el disco de Poincare (que es por lo que preguntaste directamente) están conectados por una transformación de Mobius que preserva los ángulos y que preserva el conjunto de líneas y círculos euclidianos, y así de la forma de las líneas en el semiplano superior se deriva su forma en el disco de Poincare.
Hay que seguir una secuencia de mapas. Proyectar la intersección del hiperboloide $z=\sqrt{x^2+y^2+1}$ con un plano que pasa por el origen en el disco unitario a la altura $z=1$ . Esto da una cuerda general de ese disco. Mueve el disco hacia abajo hasta el disco unitario a la altura $z=0$ . ¡Proyecta el segmento de línea de vuelta al hemisferio unitario (ahora el segmento se convierte en un arco de círculo ortogonal al círculo unitario), luego proyecta de vuelta al disco unitario por proyección estereográfica desde el polo sur (así el arco se convierte en un arco de círculo que permanece ortogonal al círculo unitario)!
¿Por qué las líneas del modelo de Poincare se encuentran con el borde infinito en ángulos rectos?
Interesante pregunta
se puede mirar desde muchos puntos diferentes:
Axiomática
A través de muy dos puntos hay una línea y una sola línea, y cuando la limitación no estaba en su lugar entonces a través de dos puntos podría haber más de una línea. (y haciendo de todo el modelo una farsa geométrica)
línea de límite
la frontera es el límite ¿de qué otra forma que no sea ortogonal se puede alcanzar? o, en otras palabras, ¿de qué otra manera se puede transformar un segmento en una línea?)
Modelo Klein
El modelo de Poincare es una proyección del modelo de Beltrami Klein https://en.wikipedia.org/wiki/Beltrami%E2%80%93Klein_model y sólo la proyección hace que las líneas sean ortogonales.
Modelo de medio plano de Poincare (algo similar a lo anterior para el https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_half-plane_model ) no es muy convincente, por qué las líneas tendrían que ser ortogonales en este modelo :)
por lo que me quedaría con la axiomática, pero dicho todo esto
En las proyecciones del plano euclidiano normal al círculo unitario se aplican otras reglas (las líneas se convierten en líneas o elipses que conectan dos puntos opuestos del círculo límite) y para la geometría elíptica ( las líneas son círculos o líneas que conectan puntos opuestos del círculo límite)
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