Si un holomorphic función de $f$ ha módulo de $1$ sobre el círculo unidad, ¿por qué no $f(z_0)=0$ algunos $z_0$ en el disco?

Question

No entiendo el paso final de un argumento que he leído.

Supongamos $f$ es holomorphic en un barrio cerrado que contiene el disco unidad, no constante, y $|f(z)|=1$ al $|z|=1$. Hay algún punto de $z_0$ en la unidad de disco tal que $f(z_0)=0$.

Por el máximo módulo principio, se deduce que el $|f(z)|<1$ en el abrir de la unidad de disco. Desde el disco cerrado es compacto, $f$ obtiene un mínimo en el disco cerrado, necesariamente en el interior en esta situación.

Pero, ¿por qué hace eso implica que $f(z_0)=0$ algunos $z_0$? Soy consciente de que el mínimo módulo de principio, que el módulo de un holomorphic, no constante, distinto de cero de la función en un dominio no obtener un mínimo en el dominio. Pero no estoy seguro de si eso se aplica aquí.

Answer 1

Si no, considere la posibilidad de $g(z)=\frac 1{f(z)}$ sobre el cierre de la unidad de disco. Tenemos $|g(z)|=1$ si $|z|=1$ $|g(z)|>1$ si $|z|<1$. Desde $g$ es holomorphic en la unidad de disco, el máximo, el módulo de principio de los rendimientos de una contradicción.