Derivada de la función sinc.

Question

Cómo mostrar esa función $\left(\operatorname{sinc}{x}\right)^{n}=\left\{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}\right\}^{n}$ es infinitamente diferenciable en $0$ ?

Answer 1

Utilice la expansión de la serie de Taylor como se menciona en los comentarios para obtener: $$ \text{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}=\frac{-\sum_{k=0}^\infty { (-x)^{2k+1} \over {(2k+1)!}} }{x}=-\sum_{k=0}^\infty {(-1)^{2k+1}(x)^{2k} \over {(2k+1)!}}=1-{x^2 \over 3!}+{x^4 \over 5!}-\cdots, $$ que es infinitamente diferenciable en $0$ . Obtendrá $$ \frac{d^m}{dx^m} \text{sinc}(x) \Biggr|_{x=0}= \cases{ {(-1)^{m}\over(m+1)} & \text{if $ m $ is even}\\ \phantom{case}&\\ \;\;\;\;\,\,0 & \text{if $ m $ odd.} \\ } $$ Porque el producto de dos $C^∞$ funciones es en sí mismo $C^∞$ hemos terminado.