¿Por qué el gran teorema de Montel y el teorema de Montel no se contradicen?

Question

El gran teorema de Montel estados

Dejemos que $\mathcal{F}$ sea un conjunto de funciones analíticas sobre una región $\Omega$ de manera que todos los $f\in \mathcal{F}$ omitir el mismo dos valores $a,b$ . Entonces la familia es normal.

Por Teorema de Montel (una familia de funciones holomorfas en una región es normal si está localmente uniformemente limitada) el teorema anterior también puede enunciarse como

Dejemos que $\mathcal{F}$ sea un conjunto de funciones analíticas sobre una región $\Omega$ de manera que todos los $f\in \mathcal{F}$ omitir los mismos dos valores $a,b$ . Entonces la familia está localmente uniformemente acotada.

Hasta ahora, ningún problema;

Mi pregunta es: ¿no es la familia $\mathcal{F}:=\{f_a(z)=a;a\in \mathbb{C}-\{0,1\}\}$ ¿un contraejemplo? Las funciones de la familia son claramente analíticas (ya que son constantes), y omiten los valores $0,1$ Así que $\mathcal{F}$ satisface la hipotesis de M.G.T., pero no están acotadas localmente de forma uniforme.

Answer 1

Depende del espacio de funciones analíticas que se considere:

1. El espacio de las funciones analíticas $\Omega \to \Bbb C$ con convergencia respecto a la métrica euclidiana. Las funciones límite son holomorfas en $\Omega$ . Una familia es normal en este espacio si y sólo si está acotada localmente de forma uniforme, esto es el teorema de Montel.

2. El espacio de las funciones analíticas $\Omega \to \hat{\Bbb C}$ con convergencia respecto a la métrica esférica. Las funciones límite son meromorfas en $\Omega$ o de forma idéntica $\infty$ . Una familia es normal en este espacio si y sólo si la derivada esférica está acotado localmente de manera uniforme, esto es Teorema de Marty .

La familia de funciones holomorfas que omiten dos valores fijos es normal en el segundo espacio, es decir, con respecto a la métrica esférica. En tu ejemplo todas las funciones son constantes, y la derivada esférica $$ \frac{2|f'(z)|}{1+|f(z)|^2} $$ es cero.