Probar que un subconjunto no vacío de un espacio vectorial es a su vez un subespacio si satisface los axiomas de cierre

Question

Tengo un problema para entender cierta parte de la prueba. La prueba es la siguiente:-

La prueba :-

Si S es un subespacio entonces trivialmente por definición satisface los axiomas de cierre. A la inversa, si S satisface los axiomas de cierre entonces los axiomas 3,4,7,8,9,10 se satisfacen trivialmente.
Axioma 5:- Sea V un espacio lineal
$$S \subseteq V \implies \exists O (\forall u \in S \implies u+O = u)$$
dejar $u$ sea cualquier elemento de $S$ entonces, por hipótesis $ku \in S$ ya que satisface los axiomas de cierre. Sea $k$ =0 entonces por un teorema anterior que dice lo siguiente:-
En un espacio lineal dado , sea $u$ y $v$ sean vectores arbitrarios y k y d escalares arbitrarios entonces tenemos las siguientes propiedades :-
[1] $0u=O$
[2] $cO = O$
......
y como $ku \in S$ entonces se deduce que $O \in S$ de [1].
De aquí se deduce que el axioma 6 es verdadero en el mismo sentido.

Mi problema :-

¿Cómo podemos aplicar el teorema que dice $0u=O$ mientras que ese teorema sólo es válido en un Espacio Lineal mientras que no hemos demostrado que $S$ es efectivamente un espacio lineal.

Answer 1

La clave es que $S\subseteq V$ y $V$ es un espacio lineal. Como la propiedad que menciona es universal, es decir, se mantiene para cada elemento de $V$ entonces es cierto para todos los elementos de $S$ .