De mi consideración podría ser absurdo total (como un estudiante de secundaria, me falta el conocimiento matemático para comprobar realmente mi idea), pero me preguntaba si se podía encontrar a un continuo generalización de la serie de Taylor comparable a la continua transformación de Fourier.
Como la transformada de Fourier, se descompone en una función de $f(t)$ en una suma de funciones trigonométricas con un resultado $\hat{f}(\omega)=\mathcal{F}(f)(\omega)$ con el dominio de las frecuencias, se podría definir un Taylor transformar $\mathcal{T}(f)$ que operará en $n$th derivados?
En lugar de las funciones trigonométricas en la transformada de Fourier, $f$ sería descomponer en una suma de polinomios de la forma $\frac{1}{n!}x^n$.
Por lo tanto, es una operación válida para generalizar la serie de Taylor para valores continuos de $n$ (es decir, el uso de las integrales en lugar de sumas)? Mi enfoque ingenuo sería
$$f(t) = \intop_0^{\infty} \mathcal{T}(f)(n)\cdot \frac{t^n}{\Gamma(n+1)} \mathrm{d}n$$
Así que, de hecho, la transformación sería definir (o al menos exigir) no enteros, derivados de una función. Hacer estos existen (como un no-entero iteración de funciones puede ser definido también)?
Ejemplo: Suponiendo que $\frac{\mathrm{d}^ne^x}{\mathrm{d}x^n}(0) = 1$ cualquier $x\in \mathbb{R}$, me iba a venir para arriba con
$$e^t = \intop_0^{\infty} \frac{t^n}{\Gamma(n+1)} \mathrm{d}n$$ como un continuo de la versión de
$$e^t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}$$
Por lo tanto $$\mathcal{T}(e^t)(n) = 1,\,n\in\mathbb{R}$$
Es una transformación como he explicado posible, o - en el caso de que - incluso de alguna manera útil?
