Espectro de los exponentes de Lyapunov de un sistema lineal

Question

Pregunta : Cómo demostrar que los valores propios de las matrices $\mathbf{A}$ y $\mathbf{L} = \log \lim_{t \to \infty} \left((e^{\mathbf{A}t}e^{\mathbf{A^T}t})^{\frac{1}{2t}}\right)$ ¿tienen partes reales iguales?

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Motivación :

Considere un sistema $$\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{Ax}$$ donde $\mathbf{A}$ es una constante matrx y $\mathbf{M}(t) := e^{\mathbf{A}t}$ es el operador de evolución. Los exponentes de Lyapunov de este sistema vienen dados entonces por los valores propios de

$$\mathbf{L} := \log \lim_{t \to \infty} \left((\mathbf{M}(t)\mathbf{M^T}(t))^{\frac{1}{2t}}\right) = \log \lim_{t \to \infty} \left((e^{\mathbf{A}t}e^{\mathbf{A^T}t})^{\frac{1}{2t}}\right)$$

Ahora, por otro lado, la tasa de expansión para un sistema anterior es constante y también está dada por las partes reales de $\mathbf{A}$ de los valores propios. Por lo tanto, los valores propios de $\mathbf{L}$ son iguales a las partes reales de los valores propios de $\mathbf{A}$ . Lo he comprobado numéricamente y también tiene sentido intuitivamente, pero no veo por qué, técnicamente, la relación se mantiene.

Answer 1

Supongo que tu matriz es cuadrada. $$\log \lim_{t \rightarrow \infty} (M(t) M(t)^T)^{ \frac{1}{2t}} = \lim_{t \rightarrow \infty} \log (M(t) M(t)^T)^{ \frac{1}{2t}} = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{2t} \log (M(t) M(t)^T)$$ ya que el logaritmo es continuo. Ahora con $M(t) = e^{At}$ , se obtiene $$\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{2t} \log (M(t) M(t)^T) = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{2t} \log (e^{At}e^{A^Tt}) = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{2t}(A + A^T)t$$ $$= \frac{1}{2}(A + A^T)$$ Aquí hay que demostrar que $A$ hormiga $A^T$ conmutación. Supongamos ahora que $\lambda = a+ ib$ es un valor propio de $A$ con el vector propio $v$ . Entonces $$(A + A^T)v = (\lambda + \bar{\lambda} )v = 2a v$$

Answer 2

El teorema de Lyapunov asegura que los valores propios $\lambda_i$ de la matriz $\textbf{A}\in \Bbb R^{n \times n}$ satisfacer $Re(\lambda_i)<0$ si y sólo si, para cualquier matriz simétrica positiva definida dada $\textbf{P}$ existe una única matriz simétrica positiva definida $Q$ que satisface la ecuación de Lyapunov: $$Q\textbf{A}+\textbf{A}Q=-\textbf{P}$$

En otras palabras, su pregunta apunta directamente al estabilidad teorema mismo. Si he entendido bien tu pregunta, creo que la respuesta apunta al propio teorema de Lyapunov.