Pregunta sobre la teoría de las medidas (no sé qué otro título ponerle)

Question

Supongamos que tenemos $\mu$ que es una medida sobre el $\sigma-$ anillo $S$ ,

Supongamos que $E\in S$ y $E$ es de $\sigma-$ medida finita.

Dejemos que $C$ sea una clase de conjuntos (pareados) disjuntos.

Entonces $\mu(E\cap D)\ne 0$ para a lo sumo un número contable de $D\in C$ .

No sé por dónde empezar con esto. Creo que la pregunta se puede reformular como " $E$ puede ser cubierto por a lo sumo un número contable de conjuntos disjuntos" como $E$ es $\sigma-$ finito, sé que hay una familia de conjuntos $\{A_n\}^\infty_{n=1}$ - cada una de ellas de medida finita, tal que $E\subset\cup_{n=1}^\infty A_n$

Answer 1

Así que, sabes que hay conjuntos $A_1$ , $A_2$ , $\ldots$ , cada una de ellas de medida finita, de modo que $E\subseteq\bigcup\limits_{i\in \Bbb N}A_i$ .

Dado que cada $A_i$ tiene medida finita, se deduce del primer paso que hiciste, como se alude en los comentarios, que para cada $i\in\Bbb N$ el conjunto $$B_i=\{ D\in C: |D\cap A_i|>0\}$$ es contable.

Ahora bien, si $D\in C$ y $|D\cap E|>0$ se deduce que existe un $i\in\Bbb N$ con $|D\cap A_i|>0$ . De hecho, si $|D\cap A_i|=0$ por cada $i\in\Bbb N$ Entonces $$|D\cap E|\le \Bigl| D\cap\bigcup\limits_{i\in\Bbb N}A_i\Bigr| =\Bigl|\bigcup_{i\in\Bbb N} (D\cap A_i)\Bigr| \le\sum_{i=1}^\infty|D\cap A_i|=0.$$

Así, sabemos que si $D\in C$ y $|D\cap E|>0$ entonces $D\in B_i$ para algunos $i$ eso es, $D\in\bigcup\limits_{i\in\Bbb N} B_i$ . De esto, y del hecho de que una unión contable de conjuntos contables es contable, se deduce que el conjunto $\{D\in C: |D\cap E|>0\}$ es contable.