Rango de una combinación lineal de formas cuadráticas

Question

Supongamos que tenemos un conjunto de formas cuadráticas $Q_i (x_1, \dots, x_n)$ para $1 \leq i \leq k$ en $n$ variables, definidas sobre $\mathbb{R}$ . Suponemos que éstas son "colectivamente no degeneradas" en el sentido de que no existe un cambio de variables que nos lleve a un conjunto de formas cuadráticas con menos de $n$ variables.

Estoy buscando combinaciones lineales de estas formas: $$ Q_{\boldsymbol{\lambda}}(\textbf{x})=\sum_i \lambda_i Q_i(x_1, \dots, x_n)$$ para $\boldsymbol{\lambda} = (\lambda_1, \dots , \lambda_k) \in \mathbb{R}^k$ . Mi pregunta es si se nos garantiza un conjunto de $\lambda$ s que nos da una forma cuadrática de rango completo, es decir $n$ ? Editar: : se ha demostrado que esto no es cierto, así que...

¿Hay algo que podamos hacer para garantizar un rango "alto", digamos mayor que 5? Por ejemplo, tomando $n \gg k$ ?

Answer 1

La respuesta a la primera parte (sobre encontrar una combinación lineal que tenga rango completo) es no. Un contraejemplo con $n=3$ y $k=2$ viene dada por las formas cuadráticas $xy$ y $xz$ . Una combinación lineal general de estas dos es de la forma $\lambda_1 xy + \lambda_2 xz = x(\lambda_1 y + \lambda_2 z)$ , que obviamente tiene rango 2.

La formulación equivalente en términos de matrices simétricas es que cualquier combinación lineal de \begin{equation*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\\ 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \N - Cuadrado y cuadrado \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\\ 0 & 0 & 0 \\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\end{equation*} es singular, pero si ponemos las matrices una al lado de la otra, entonces \begin{equation*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{equation*} tiene el rango completo.