Mi solución completa que ojalá obtenga un 5.
$$ \begin {eqnarray} w + 6x &=& 2y + 3z \qquad (1) \end {eqnarray} $$
En primer lugar, demostramos que $ n \ge 4 $ .
Lema : Para cualquier número entero positivo $m$ los enteros $m$ , $2m$ y $3m$ deben tener colores distintos por pares.
Prueba : Obsérvese que, para cualquier número entero positivo $m$ se cumplen las siguientes afirmaciones.
- El cuádruple ordenado $(w,x,y,z)=(2m,m,m,2m)$ satisface (1), por lo que $m$ y $2m$ no pueden tener el mismo color.
- El cuádruple ordenado $(w,x,y,z)=(3m,m,3m,m)$ satisface (1), por lo que $m$ y $3m$ no pueden tener el mismo color.
- El cuádruple ordenado $(w,x,y,z)=(3m,2m,3m,3m)$ satisface (1), por lo que $2m$ y $3m$ no pueden tener el mismo color.
Por lo tanto, $m$ , $2m$ y $3m$ deben tener todos colores diferentes. $\Box$
Por el lema 1, $ n \ge 3 $ . Ahora, digamos, para no contradecir, que $n=3$ es suficiente. Que el color del entero positivo $u$ sea $c(u)$ . Entonces, digamos que $c(m)=r$ , $c(2m)=s$ y $c(3m)=t$ , donde $r$ , $s$ y $t$ son distintos por parejas. Entonces, por el lema 1, tenemos que $ c(6m) \ne c(2m) $ y $ c(6m) \ne c(3m) $ Así que $ c(6m) = c(m) = r $ . Esto también da $ c(12m) = c(2m) $ sustituyendo $ m \mapsto 2m $ en la ecuación $ c(6m) = c(m) $ . Y $ c(2m) = s $ Así que $ c(12m) = s $ .
Lema : Para cualquier número entero positivo $m$ los enteros $2m$ , $9m$ y $12m$ no pueden tener todos el mismo color.
Prueba : Obsérvese que, para cualquier número entero positivo $m$ el cuádruple ordenado $(w,x,y,z)=(12m,2m,9m,2m)$ satisface (1), por lo que $2m$ , $9m$ y $12m$ no pueden tener todos el mismo color.
Por el lema 2, y el hecho de que $c(2m)=c(12m)=s$ tenemos $c(9m)\ne s$ . Por el lema 1, $c(9m)\ne c(3m)$ Así que $c(9m) \ne t$ . Por lo tanto, $c(9m)=r$ . Pero, por el lema $1$ sustituyendo $6m$ y $9m$ no pueden tener el mismo color, por lo que tenemos una contradicción con el hecho de que $n=3$ colores es suficiente. Por lo tanto, $ n \ge 4 $ .
Ahora, afirmamos que la siguiente construcción para $n=4$ los colores funcionan:
- Colorea el entero positivo $a$ $\textbf{red}$ si y sólo si $ \nu_3 (a) $ es par y $ \frac {a}{3^{\nu_3(a)}} \equiv 1 \pmod {3} $ .
- Colorea el entero positivo $a$ $\textbf{blue}$ si y sólo si $ \nu_3 (a) $ es par y $ \frac {a}{3^{\nu_3(a)}} \equiv 2 \pmod {3} $ .
- Colorea el entero positivo $a$ $\textbf{green}$ si y sólo si $ \nu_3 (a) $ es impar y $ \frac {a}{3^{\nu_3(a)}} \equiv 1 \pmod {3} $ .
- Colorea el entero positivo $a$ $\textbf{yellow}$ si y sólo si $ \nu_3 (a) $ es impar y $ \frac {a}{3^{\nu_3(a)}} \equiv 2 \pmod {3} $ .
Aquí, $v_3(r)$ representa el mayor número entero positivo $k$ tal que $3^k \mid r$ .
Para demostrar que esta construcción es una coloración válida, supongamos primero, en aras de la contradicción, que tenemos un cuádruple $(w,x,y,z)$ tal que $w$ , $x$ , $y$ y $z$ todos poseen el mismo color.
Considere el cuádruple $ \left( \frac {w}{k}, \frac {x}{k}, \frac {y}{k}, \frac {z}{k} \right) $ , donde $ k = 3^{\text{min} \left( \nu_3 (w), \nu_3(6x), \nu_3(y), \nu_3(3z) \right)} $ que también es igual a $$ 3^{\text{min} \left( \nu_3 (w), 1 + \nu_3 (x), \nu_3 (y), 1 + \nu_3 (z) \right)}. $$ Permitimos $x$ y $z$ para convertirse en racionales, ya que el denominador debe ser $1$ o $3$ , haciendo que $6x$ y $3z$ sigue siendo integral. Lo que hemos hecho es dividir $(w,x,y,z)$ un número de veces suficiente para que al menos uno de $\frac{w}{k}$ , $6\frac{x}{k}$ , $2\frac{y}{k}$ y $\frac{z}{k}$ no divisible por $3$ . Así que lo dividimos en dos casos.
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Si uno de $w$ y $2y$ no es divisible por $3$ , entonces el otro no está tan bien. Como $ \nu_3 (6x) $ y $ \nu_3 (3z) $ son ambos de la paridad opuesta a la de $ \nu_3 (w) $ y $ \nu_3 (y) $ , ambos $ \nu_3 (6x) $ y $ \nu_3 (3z) $ son impar y así $6x$ y $3z$ son ambos divisibles por $3$ . Por lo tanto, tomando ambos lados mod $3$ nos da $ w \equiv 2y \pmod 3 $ . Por lo tanto, ya que uno de $w$ o $2y$ no es divisible por $3$ el otro tampoco lo es, así que $ w \equiv y \pmod 3 $ . Esto no puede satisfacerse con $ w \equiv 2y \pmod {3} $ y $ w \not\equiv 0 \pmod 3 $ Así que tenemos una contradicción.
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Si uno de $6x$ y $3z$ no es divisible por $3$ Entonces, el otro no es tan bueno. Dado que $\nu_3(x)$ y $\nu_3(2y)$ tienen paridad opuesta, deben ser divisibles por $3$ . Sea $ x_1 = 3x $ y $ z_1 = 3z $ . Entonces, $ w + 2x_1 = 2y + z_ 1 $ . Tomando mod 3, tenemos $ 2x_1 \equiv z_1 \pmod 3 $ . Por lo tanto, uno de ellos no es divisible por 3, así que el otro tampoco lo es. Pero $ x_1 $ y $ z_1 $ son ambos factores de $x$ y $z$ y encontramos que $$ x_1 \equiv z_1 \pmod 3, $$ lo cual es, de nuevo, una contradicción.
$$\blacksquare$$