Dé un ejemplo de una secuencia $(E_n)_n$ y una medida $\mu$ para que $\mu(\liminf E_n) < \liminf \mu(E_n) < \limsup \mu(E_n) < \mu(\limsup E_n)$

Question

Dé un ejemplo de una secuencia $(E_n)_{n \in \Bbb N}$ y una medida $\mu$ para que $\mu(\liminf E_n) < \liminf \mu(E_n) < \limsup \mu(E_n) < \mu(\limsup E_n)$

Esta es una pregunta de un curso de teoría de la medida pasada que estoy haciendo y no estoy seguro de cómo responder. ¿Podría alguien ayudarme? Gracias de antemano.

Answer 1

Considere $\mu=\frac{1}{3}\delta_0 + \frac{1}{2}\delta_{\tfrac12}+\frac16\delta_{1}$ en $\Big([0,1],\mathscr{B}([0,1])\Big)$ . Sea $A_{2n+1}=[0,\tfrac12]$ y $A_{2n}=[\tfrac12,1]$ , $n\in\mathbb{N}$ .

$\liminf_nA_n=\{\tfrac12\}$ , $\limsup_nA_n=[0,1]$ .

$$\frac12=\mu\Big(\liminf_n A_n\Big)<\liminf_n\mu(A_n)=\frac23<\frac56=\limsup_n\mu(A_n)<1=\mu(\limsup_n(A_n)$$

---

También se puede utilizar la medida de Lebesgue en $[0,1]$ y tienen $A_{2n+1}=[0,1-b]$ y $A_{2n}=[a,1]$ con alguna opción de $a$ y $b$ para obtener las propiedades deseadas.