Podemos considerar $l^1$ como un subespacio de $(l^\infty)^*$ porque por cada $x \in l^1$ existe una función lineal acotada $T_x: l^\infty \to \mathbb{R}$ definido por $T_x(y) = \sum_n x_n y_n$ . Además $l^1$ está cerrado en $(l^\infty)^*$ . Me interesa la dimensión del espacio cociente $(l^\infty)^*$ mod $l^1$ pero no sé ni por dónde empezar. He resuelto algunos problemas sobre las dimensiones de los espacios cocientes para los espacios secuenciales considerando vectores linealmente independientes, pero aquí la noción de dual me confunde.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Supongamos que $\ell_\infty^*/\ell_1$ es de dimensión finita, y dejemos que $\{x_1,...,x_n\}$ sea un subconjunto finito de $\ell_\infty^*$ tal que el conjunto $$\big\{x_1+\ell_1,...,x_n+\ell_n\bigr\}$$ es la base del cociente $\ell_\infty^*/\ell_1$ . Ahora, dejemos que $(e_n)$ sea la base estándar de Schauder de $\ell_1$ . Es decir $e_n(k)=1$ cuando $k=n$ y $e_n(k)=0$ cuando $k\neq n$ . Ser una base de Schauder significa que para cada $x=(x(k))_{k=1}^{\infty}\in \ell_1$ tenemos que $$\biggl|\biggl|x-\sum_{n=1}^{k}x(n)e_n\biggr|\biggr|_1\to 0$$ como $k\to \infty$ . En otras palabras $\overline{Y}=\ell_1$ donde $Y=span(e_m:\,m\in \mathbb{N})$ (Esto demuestra que $\ell_1$ es separable). Ahora, es fácil comprobar que $$\tag{*}\ell_\infty^* = \overline{Y}\oplus Z$$ con $Z=span(x_k:\,1\leq k\leq n)$ . Ahora bien, como ambos $\overline{Y}$ y $Z$ son separables por $(*)$ se deduce que $\ell_\infty^*$ es separable, por lo que $\ell_\infty$ debe ser separable, lo cual no puede ser cierto. Entonces, el cociente $\ell_\infty^*/\ell_1$ tiene una dimensión infinita.