¿Cómo demostrar que un sistema de axiomas es consistente?

Question

Me gustaría saber si los sistemas capaces de demostrar que otros sistemas son consistentes, utilizan algún método fundamentalmente diferente a "Añadir 'T es consistente' como axioma, entonces T es consistente, QED".

¿Cómo demuestra, por ejemplo, ZFC que la AP es coherente?

¿Todo se reduce a demostrar que todo lo que se puede derivar de PA se puede derivar de los axiomas de ZFC?

Answer 1

Si los axiomas son una teoría de primer orden entonces tenemos la Teorema de la integridad que afirma que una teoría es consistente si y sólo si existe un modelo de esta teoría.

Así que una teoría demuestra que otra es consistente si puede mostrar la existencia de un modelo de la segunda teoría. Por ejemplo, en ZFC podemos mostrar que los ordinales finitos forman un modelo de PA, por lo tanto, como teoría de primer orden, PA es consistente si ZFC es consistente.

Por supuesto, esto no dice nada sobre si la AP es o no realmente consistente o si ZFC es realmente coherente, esto se reduce a "creer" que los axiomas con los que se trabaja son verdaderos. Sin embargo, sabemos que si ZFC es consistente, podemos generar un modelo de PA que demuestre que PA también es consistente (esto se llama consistencia relativa decimos que PA es consistente relativa a ZFC).

El Teorema de Incompletitud impide que ZFC pruebe su propio consistencia y para eso necesitamos tener un axioma adicional, dándonos una teoría más fuerte que pueda entonces probar que ZFC es consistente (tales axiomas son "ZFC es consistente", o "Existe un cardinal inaccesible", etc.)

Answer 2

La principal forma de demostrar que algo es consistente es producir un modelo de ello. ZFC demuestra que PA es consistente porque ZFC es capaz de demostrar que existe un modelo de PA, y ZFC es capaz de demostrar que cualquier teoría que tenga un modelo es consistente.

Del mismo modo, podemos demostrar en ZFC que si una teoría $T$ puede ser interpretado en una teoría consistente $T'$ entonces $T$ también es coherente. Una interpretación es esencialmente una forma de sustituir las nociones de $T$ con los de $T'$ de manera que los axiomas de $T$ se mantienen. Por ejemplo, podemos interpretar la geometría euclidiana interpretando la palabra "punto" de la geometría como un punto en $\mathbb{R}^2$ e interpretando "línea" como una línea en $\mathbb{R}^2$ etc. Podemos comprobar entonces que los postulados de Euclides se cumplen todos en esta interpretación. Así, porque la teoría de conjuntos utilizada para desarrollar $\mathbb{R}^2$ es consistente, también lo es la geometría euclidiana.

El problema surge cuando queremos demostrar que una teoría $T$ es consistente en una teoría $S$ que no es lo suficientemente fuerte como para hablar de modelos o para demostrar que toda teoría con un modelo es consistente. En estos casos, la prueba de que $T$ es consistente a menudo implicará una prueba detallada dentro de $S$ que ninguna deducción formal posible a partir de los axiomas de $T$ puede llevar a una contradicción. Las llamadas pruebas de consistencia sintáctica son un área de interés en la teoría de las pruebas, aunque la teoría moderna de las pruebas se interesa generalmente por cuestiones más complejas que la simple consistencia.

Answer 3

La consistencia es una propiedad intrínseca de una teoría (un conjunto de axiomas): una teoría $T$ se dice que es inconsistente si hay una prueba en $T$ de una fórmula y su negación, es decir, hay una fórmula $\phi$ st. $T \vdash \phi \wedge \neg \phi$ y es coherente en caso contrario. Todo esto se hace a un nivel "meta", en el que se definen las reglas de inferencia lógica (por ejemplo, el modus ponens), y no intervienen otras teorías.

Tal vez le interese relativa resultados de consistencia, es decir, resultados de la forma "ZFC es consistente si ZF es consistente", o "ZFC+CH es consistente si ZFC es consistente". En este caso puede interesarle forzando que es una herramienta utilizada para demostrar este tipo de resultados.