¿Puedes utilizar 2^n - 2 / n para comprobar si un número es primo con una precisión del 100%?

Question

Según la prueba de primalidad AKS:

$$(x-1)^p - (x^p-1)$$

Si todos los coeficientes (que se pueden encontrar en el triángulo de Pascal) son divisibles por p, entonces p es primo.

Si sumamos estos coeficientes obtenemos:

$2$ para $p = 2$ ;

$6$ para $p = 3$ ;

$14$ para $p = 4$ ;

$30$ para $p = 5$

$\ldots$

Si todos los coeficientes son divisibles por p, entonces la suma de todos esos coeficientes debe ser también divisible por p

$sum = 2^p - 2$

Así que si $(2^p - 2) / p$ es un número natural, podemos concluir que $p$ ¿es definitivamente primordial?

Por favor, corregidme si he cometido algún error evidente

Answer 1

Si una suma es divisible por $p,$ no significa que los sumandos lo sean.

El menor contraejemplo a su afirmación es $p=341.$ Tenemos $341=11\cdot 31,$ pero $2^{341}=2\cdot(2^{10})^{34} = 2\cdot(1024)^{34} = 2\cdot(3\cdot 341+1)^{34} \equiv 2\cdot 1^{34} = 2 \pmod{341}.$