Cómo modelar una sencilla minimización de energía mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange

Question

Supongamos que tengo un conjunto de números generados aleatoriamente, donde cada número está indexado por $x$ . Esto equivale a un campo escalar 1-D, llamémoslo $u(x)$ .

Digamos que mi objetivo es minimizar la distancia entre cada par de escalares siguientes, lo que puede expresarse como la minimización del siguiente funcional de energía:

$$E[u(x)] = \sum_{x}\left(\frac{du(x)}{dx}\right)^2$$

Gracias al comentario/aclaración de @BrianBorchers, la configuración $u(x)=0$ acabaría alcanzando un mínimo no restringido. Así, introduzco las siguientes restricciones: $u(x)$ se define en $[a,b]$ para que $u(a)$ y $u(b)$ son valores escalares fijos.

Las primeras (o segundas) derivadas del campo escalar $u(x)$ se puede aproximar fácilmente tomando diferencias finitas. Me gustaría utilizar simplemente el descenso de gradiente para conseguir que el campo escalar u converja al estado deseado. Por lo tanto, necesito un paso de actualización para $u(x)$ Algo así como..:

$$u^{k+1} = u^{k} - \alpha\left(\frac{dE[u(x)]}{du(x)}\right)$$ , donde $\alpha$ es un paso/ritmo de actualización constante.

Lo hago para conocer a fondo un artículo de investigación que utiliza funciones de energía similares, aunque más complejas, expresadas en términos de un campo vectorial. Los autores afirman que el paso de actualización, es decir, el equivalente al término $\frac{dE[u(x)]}{du(x)}$ anterior se deriva utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange. A continuación se ofrecen enlaces al artículo y al material complementario.

He mirado numerosos tutoriales y algunos libros, y si entiendo bien, la ecuación de Euler-Lagrange para dicha energía $E[u(x)]$ sería:

$$-\frac{d}{dx}E_{u'}[u(x)] + E_{u}[u(x)] = 0$$ o, utilizando la notación de Lagrange para las derivadas, $$-\frac{d}{dx}\left(\frac{dE[u(x)]}{d\frac{du(x)}{dx}}\right) + \frac{dE[u(x)]}{du(x)} = 0$$

1. ¿Es correcta la formulación anterior de la ecuación de Euler-Lagrange?
2. La ecuación de Euler-Lagrange parece que sería directamente un punto estacionario en el funcional de energía. Supongo que no puedo hacerlo directamente por alguna razón. ¿Cómo funciona exactamente la ecuación de Euler-Lagrange con el paso de actualización que debo tomar en mi descenso de gradiente gradiente de arriba?
3. ¿Cómo puedo formular exactamente el paso de actualización como un función de las derivadas primera y segunda de $u(x)$ por ejemplo $x$ ?

El artículo de investigación original (véase la sección 4.2) y el material complementario (véase la sección 2.3) :

• Slavcheva, Miroslava, Maximilian Baust, Daniel Cremers y Slobodan Ilic. "KillingFusion: Reconstrucción 3D no rígida sin Correspondencias". En IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition Recognition (CVPR), vol. 3, no. 4, p. 7. 2017.
• Material complementario

Answer 1

Estoy respondiendo en nombre de Nitin Sanket, y él merece todo el crédito por la explicación.

1) La ecuación de Euler-Lagrange es esencialmente correcta. Normalmente, con la excepción de $-\frac{d}{dx}$ al principio, tendríamos derivadas parciales, pero aquí la derivada regular funciona ya que $E$ es una función sólo en $u(x)$ . Hay un pequeño problema con la notación aquí, igual que en el documento: hay que expresar la energía total por separado de la función dentro de la integral (en este caso, la suma). De este modo, queda claro que el paso de actualización en cada punto x del campo escalar no implica la suma.

2) y 3) El paso de actualización $\frac{dE[u(x)]}{du(x)}$ puede obtenerse trasladando el primer término de la ecuación de Euler-Lagrange dada al lado derecho, resolviendo así el paso. Como las derivadas de primer y segundo orden son fáciles de calcular en el campo escalar, podemos obtener fácilmente la actualización en cada paso.

El resto del regularizador de Killing del artículo citado no es más que una generalización del método anterior de una lagrangiana de un campo escalar en una dimensión a una lagrangiana de un campo vectorial en tres dimensiones, que puede derivarse fácilmente siguiendo la Entrada de Wikipedia sobre el tema .