La derivada direccional en coordenadas cilíndricas.

Question

He encontrado que el operador de gradiente en coordenadas cilíndricas es

$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \vec{e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \vec{e_{\theta}} + \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e_z} $$

¿Es tan fácil como definir

$\vec u = u_r\vec{e_r} + u_{\theta}\vec{e_{\theta}} + u_z \vec{e_{z}}$

entonces tomando el producto punto y observando que nuestra base es un conjunto ortogonal para obtener

$$(\vec{u} \cdot \nabla) f = u_r \frac{\partial f}{\partial r} + u_{\theta} \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} + u_z \frac{\partial f}{\partial z} $$ ?

Siento que esto es demasiado bueno para ser verdad. Así que mi pregunta es, ¿Es esta la expresión correcta para la derivada direccional de un campo escalar $f$ ?

Answer 1

"...siento que esto es demasiado bueno para ser verdad". Tu pregunta es perfectamente legítima ya que los cambios de coordenadas son siempre complicados para los operadores diferenciales. Pero por suerte existe una teoría general y bien conocida, denominada "coordenadas curvilíneas".

La respuesta es: SÍ, es correcto, pero sólo para un campo escalar. No intente extender ingenuamente esta fórmula a campos de mayor rango. Ejemplo: la derivada direccional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas es mucho más compleja que esto. Echa un vistazo a:

https://link.springer.com/content/pdf/bbm%3A978-3-0348-8579-9%2F1.pdf

El tema general de tu pregunta es cómo funcionan las "coordenadas curvilíneas ortogonales": esto incluye las coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas estándar.

Answer 2

Tu resultado final es correcto pero el lado izquierdo es un poco problemático........ deberías escribir ....(grad f) producto punto con (vector u)...ya que del no es un vector en sí...es un operador diferencial vectorial...los expertos me corregirán si me equivoco