Determinar si $\frac{1000!}{100!^{10}}$ es un número entero

Question

Puede dar una idea, de cómo averiguar si el resultado de ${1000!}/{100!^{10}}$ un entero.

Modulo división? Pero lo que me encontré fue de unos poderes como $2^{100}/125$...

Answer 1

¿Cuál es el número de maneras de dividir $1000$ personas en $10$ equipos de $100$ ?

Answer 2

Ya que has etiquetado a este álgebra abstracta, voy a dar una sugerencia basada en ella: el grupo de $$\underbrace{S_{100}\times\cdots\times S_{100}}_{10\text{ copies}}$$ has an obvious embedding as a subgroup of $S_{1000}$.

Answer 3

Considerar el binomio coefficents ${200 \choose 100},{300 \choose 100},{400 \choose 100},{500 \choose 100},{600 \choose 100},{700 \choose 100},{800 \choose 100},{900 \choose 100},{1000 \choose 100}$

Por ejemplo,

$${700 \choose 100} = \frac{700!}{600!100!} = \frac{700\cdot 699\ldots 602\cdot 601}{100!}$$ y este es un entero...

Answer 4

Aquí no combinatoria, la mayor cantidad de la teoría de la prueba. Para cualquier prime $p$ el número de factores de $p$ $n!$ es

$$\sum_{k\ge 0}\left\lfloor\frac{n!}{p^k}\right\rfloor\;,$$

por lo que es suficiente para mostrar una arbitraria prime $p$ que

$$10\sum_{k\ge 0}\left\lfloor\frac{100}{p^k}\right\rfloor\le\sum_{k\ge 0}\left\lfloor\frac{1000}{p^k}\right\rfloor\;.\tag{1}$$

$(1)$ sin duda será verdadero si

$$10\left\lfloor\frac{100}{p^k}\right\rfloor\le\left\lfloor\frac{1000}{p^k}\right\rfloor\tag{2}$$

para los números primos $p$$k\ge 0$. Pero

$$\left\lfloor\frac{100}{p^k}\right\rfloor\le\frac{100}{p^k}\;,$$

así

$$10\left\lfloor\frac{100}{p^k}\right\rfloor\le\frac{1000}{p^k}\;,$$

y $(2)$ (y, por tanto,$(1)$) se sigue inmediatamente.

Answer 5

El resultado básico es que el producto de $k$ números consecutivos es divisible por $k!$.

Este es el hecho de que ${{n}\choose{k}}$ es un número entero al $n \ge k$.

Ahora, $1000!$ puede ser descompuesto en $10$ productos de $100$ números consecutivos.