Mi pregunta se refiere a las dos primeras páginas del capítulo II.3 de Bridson/Haefliger. Abajo $M^2_{\kappa}$ se refiere al plano de curvatura bidimensional del modelo $\kappa$ (por ejemplo, $S^2$ para $\kappa=1$ o $H^2$ para $\kappa=-1$ ). Mis dificultades desaparecen cuando $\kappa \le 0$ , por lo que puedes ignorar este caso.
En la prueba de la Prop. 3.1 dicen que para un CAT( $\kappa$ ) del espacio "se pueden tomar triángulos de comparación en $M^2_{\kappa}$ en lugar de $E^2$ en la definición del ángulo de Alexandrov", y remite a I.2.9 para ello. Sin embargo, este último sólo afirma que el ángulo de un triángulo en $M^2_{\kappa}$ es igual a su ángulo de Alexandrov. No entiendo cómo esto implica su afirmación.
Del mismo modo, en la proposición 3.5, consideran un segmento geodésico $c \colon [0,\epsilon] \to X$ y un punto $y\neq p$ en un CAT( $\kappa$ ) espacio $X$ y afirmar que $$ \lim_{s \to 0} \bar \angle_p(c(s),y)=\angle_p(c(\epsilon),y), $$ donde el primero se refiere a un límite de los correspondientes ángulos de comparación en $E^2$ y este último al ángulo de Alexandrov. En la prueba observan que $s \mapsto \angle_p^{(\kappa)}(c(s),y)$ es no decreciente (lo que se deduce inmediatamente de la CAT( $\kappa$ ) y definir $\gamma = \lim_{s \to 0} \angle_p^{(\kappa)}(c(s),y)$ . Mis dificultades comienzan cuando afirman que este último es igual a $\lim_{s \to 0} \bar\angle_p(c(s),y)$ refiriéndose de nuevo a I.2.9; no entiendo por qué I.2.9 permite concluir esto. Luego continúan afirmando que este último límite es, "por definición, el ángulo superior fuerte entre $[p,y]$ y $c$ ". Sin embargo, esta no es la definición en absoluto, que en esta situación sería $$ \lim_{\delta \to 0} \sup_{s \in [0,\delta], t \in [0,a]} \bar\angle_p(c(s),c'(t)), $$ donde $c' \colon [0,a] \to X$ es la geodésica que une $p$ a $y$ . ¿Por qué coinciden ambos en este caso?
He intentado adjuntar copias de las páginas pertinentes del libro, pero no estoy seguro de que funcione (es mi primer mensaje).
