En la figura siguiente sólo sé que la longitud de $PA$ y $BA$ son $4$ . También sé que $PA=PA'$ y que $AB = A'B'$ . ¿Cómo puedo encontrar la longitud del radio del círculo más pequeño?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Parece que $PB$ y $PB'$ son las líneas tangentes comunes de los dos círculos (aunque esto no se dice explícitamente, pero lo supondré).
En primer lugar, dejemos que $R$ denotan el radio del círculo mayor y $r$ la del más pequeño. Además, dejemos que $O$ denotan el centro del círculo menor, y $O'$ la del más grande. Encuentre $C$ en $O'B$ tal que $OC\perp O'B$ . Entonces es fácil ver que
(i) $R=2r$ ;
(ii) $OO'=R+r$ ;
(iii) $O'C=r$ .
Entonces considera el triángulo rectángulo $\triangle OCO'$ . Aplicando el teorema de Pitágoras sobre este triángulo, obtenemos que $|OO'|^2=|O'C|^2+|OC|^2$ Es decir $$(3r)^2=4^2+r^2,$$ a partir de la cual podemos resolver $r=\sqrt 2$ .
