Encuentre la función para dos condiciones diferentes

Question

Encontrar toda la función $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfagan la siguiente ecuación:

Si $f(x+y) \leq f(x)f(y); f(xy)=f(x)f(y)$ Por lo demás, $f(xy)=f(x+y)$

Answer 1

Configurar $x,y = 0$ , da $f(0) = \max\{f(0)^2, f(0)\}$ , lo que implica $f(0) \in [0,1]$

Caso (1) $f(0) = 0$ .

Configurar $x = 0$ da $f(0) = \max\{0,f(y)\}$ lo que implica que $f(y) \leq 0$ para todos $y \in \mathbb{R}$ .

Tenga en cuenta ahora que $$ f(xy) = \max\{f(x)f(y), f(x + y)\} = f(x)f(y) $$ desde $f(x)f(y) \geq 0$ y $f(x+y) \leq 0$ debería aguantar. Pero como $f$ no puede ser positivo en este caso, concluimos que $f$ es $0$ en todo.

Caso (2) $f(0) \neq 0$ es decir $f(0) \in (0,1]$ .

Configurar $x = 0$ da $f(0) = \max\{f(0)f(y),f(y)\}$ y como $f(0) \leq 1$ podemos deducir lo siguiente

• Siempre que $f(y) \geq 0$ entonces $f(0) = f(y)$
• Siempre que $f(y) < 0$ entonces $f(0) = f(0)f(y)$ es decir $f(y) = 1$ que es una contradicción por lo que $f(y)$ no puede ser negativo.

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Por lo tanto, finalmente, sólo tenemos una posibilidad

1. $f(x) = c$ para todos $x \in \mathbb{R}$ donde $c \in [0,1]$

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Es fácil ver que esto satisface la ecuación dada y nuestros casos mostraron que no hay otra posibilidad.