Si $S=\{v_i\}_{i\in\mathbb N}$ es una base de Schauder (no necesariamente ortogonal) para un espacio de Hilbert $H$ , debe $S$ ser un incondicional ¿Base Schauder? A continuación defino estos términos porque no todas las fuentes que he encontrado coinciden perfectamente en las definiciones.
En los espacios de Banach generales (donde la ortogonalidad no está definida), existen bases de Schauder condicionales. Pero si la base de Schauder está en un espacio de Hilbert y es ortogonal, entonces sí es incondicional. Por lo tanto, mi pregunta es si esta propiedad incondicional se mantiene si nos quedamos en el espacio de Hilbert pero se elimina la ortogonalidad.
Definiciones:
Un subconjunto contable ordenado $\{v_i\}_{i\in\mathbb N}$ de un espacio de Banach $V$ es un Base Schauder si cada $v\in V$ puede escribirse de forma única como una serie $v=\sum_{i=1}^\infty a_i v_i$ donde la convergencia es con respecto a la topología inducida por la norma.
Una base de Schauder es incondicional si los términos de cualquier serie convergente pueden reordenarse sin afectar a la suma.
A Base de Hilbert es un subconjunto ortonormal máximo de un espacio de Hilbert $H$ , posiblemente incontable. Se sabe que incluso para espacios de Hilbert no separables, existe una base de Hilbert $B$ y que cada $v\in H$ puede expresarse de forma única como una suma de un subconjunto contable de $B$ que siempre es independiente del orden de la suma.
