Desigualdad en la probabilidad de intersección de n eventos

Question

Cómo demostrar la siguiente desigualdad sobre la probabilidad de intersección de $n$ eventos $A_i, i=1,2,3,\ldots,n$ . $$P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right) \geq \left(\sum_{i=1}^n P(A_i)\right) -(n-1).$$ Lo he demostrado por inducción. ¿Pero cómo se puede demostrar de otra manera?

Answer 1

$$P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right) = 1- P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i^c\right) \\ \geq 1-\left(\sum_{i=1}^n P(A_i^c)\right) =1-\left(\sum_{i=1}^n (1-P(A_i))\right) = \left(\sum_{i=1}^n P(A_i)\right) -(n-1)$$

con igualdad cuando el $A_i^c$ son mutuamente disjuntos, o al menos cualquier intersección tiene probabilidad cero ya que entonces $P\left(\bigcup_i A_i^c\right) = \sum_i P(A_i^c) $