equivalente a una integral

Question

Estoy buscando un equivalente de la siguiente integral: $$\int_{n}^{+\infty}\log(1-2^{-t})\mathrm dt$$ cuando $n\to+\infty$ .

Cualquier pista o solución será bienvenida. Gracias de antemano

Answer 1

Si por "equivalente" te refieres a la expansión asintótica, entonces $$\log(1-2^{-t})\approx-2^{-t}-\tfrac122^{-2t}-\tfrac132^{-3t}-\tfrac142^{-4t}-\dots$$ así que $$\int_n^\infty\log(1-2^{-t})\,\mathrm{d}t\approx-\tfrac1{\log(2)}2^{-n}-\tfrac1{4\log(2)}2^{-2n}-\tfrac1{9\log(2)}2^{-3n}-\tfrac1{16\log(2)}2^{-4n}-\dots$$

Answer 2

Su integral tiene una expresión analítica: $$\int \ln \left( 1 - 2^{-t} \right) \, dx= \frac{1}{\ln (4)} \left( t \ln (2) \left(t \ln (2)+2 \ln \left(1-2^{-t}\right)-2 \ln \left(1-2^t\right)\right)-2 \text{Li}_2\left(2^t\right) \right)$$ donde $\text{Li}_2(t)$ es la función polilogaritmo.

$$\int_0^{\infty } \ln \left(1-2^{-t}\right) \, dt = -\frac{\pi^{2}}{\ln (64)} \approx -2.373138220831250905643446$$

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Comportamiento asintótico: $$\lim_{t\to\infty} \left( 1 - 2^{-t} \right) = 1$$ Por lo tanto, $$\lim_{t\to\infty} \ln \left( 1 - 2^{-t} \right) = 0$$ La función se representa a continuación.

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Gracias a @user58697 por señalar que el punto límite de la izquierda no es fijo. $$\int_x^{\infty } \ln \left(1-2^{-t}\right) \, dt = 2 \frac{\text{Li}_2\left(2^x\right)}{\ln (4)}- x^2 \frac{ \ln (2)}{2} +x \ln \frac{ 1-2^x }{1-2^{-x}} -\frac{2 \pi ^2}{\ln (64)}$$