Prueba $x^x+y^y\ge\sqrt2$ cuando $x,y\in \mathbb R^+$ y $x+y=1$

Question

Suponiendo que $x,y\in \mathbb R^+$ , $x+y=1$ cómo demostrar $$x^x+y^y\ge\sqrt2$$ gracias de antemano

Answer 1

Consideremos la función $$f(x)=x \ln x +(1-x)\ln(1-x)$$ donde $0<x<1$ y luego $$f'(x)=\ln\frac{x}{1-x}$$ $$f'\left(\frac{1}{2}\right)=0$$ donde $x_0=\frac{1}{2}$ es el punto donde la función alcanza su mínimo. Entonces $$f(x)\ge f\left(\frac{1}{2}\right)$$ que finalmente da como resultado $$x \ln x +y \ln y \ge \ln\left(\frac{1}{2}\right)\tag1$$ Ahora, reescribamos la desigualdad del lado izquierdo, usemos la desigualdad AM-GM y luego usemos $(1)$ $$e^{x \ln x}+e^{y\ln y}\ge 2 {\displaystyle e^{\displaystyle\frac{x \ln x+y \ln y}{2}}}\ge2 {\displaystyle e^{\displaystyle\frac{\ln(1/2)}{2}}}=\sqrt{2}$$

Chris.

Answer 2

Sin Jensen: Minimicemos la función en el cuadrante positivo. \begin{align} f(x)&=x^x+(1-x)^{(1-x)}\\ f^\prime(x)&=(1-x)^{(-x)} (-1+x) (1+\log(1-x))+x^x (1+\log(x)) \end{align} Igualar a cero y resolver. (También puedes comprobar que la segunda derivada es positiva) \begin{align} x&=0.5\\ f(x)&=(0.5)^{0.5}+(0.5)^{0.5}\\ f(x)&=2\times (0.5)^{0.5}\\ f(x)&=(4\times 0.5)^{0.5}\\ f(x)&=\sqrt{2}\\ \therefore~~ f(x)&\geq \sqrt{2}\quad \forall x\in \mathbb{R}^+ \end{align}

Answer 3

Pista: Aplicar la desigualdad de Jensen en $f(x)=x^x$ .

Answer 4

HINT Demostrar que $x^x$ es convexo en el intervalo $[0,1]$ . A continuación, utilice La desigualdad de Jensen .