La acción de las transformaciones de Lorentz sobre los 4 vectores en la relatividad especial

Question

Así que estoy estudiando la relatividad especial y me han introducido en el cálculo tensorial básico utilizado en la teoría. Recientemente, me encontré con una afirmación que me confunde: $$\Lambda^\mu_{\,\,\nu} x^\nu = x^\nu \Lambda^\mu_{\,\,\nu}$$ donde $\Lambda^{u} _{v}$ es la matriz de transformación de Lorentz y $x^u$ es un vector 4. Lo que no entiendo es por qué es así. Más concretamente por qué es posible intercambiar el orden del vector 4 y de la matriz de Lorentz, pensaba que la multiplicación de matrices no era conmutativa y por tanto esto debería ser incorrecto.

Answer 1

No estás intercambiando el orden del vector 4 y la matriz de Lorentz, esta notación está contraída. Lo que esta ecuación está diciendo es que: $$\sum_u\Lambda^{v} _{u} x^u =\sum_u x^u \Lambda^{v} _{u}$$

Así que los símbolos de la suma son en realidad componentes del vector y de la matriz. Al ser componentes, sólo números, seguramente conmutan, y puedes cambiar su orden sin problemas.