Demostrar la existencia de una función

Question

Demostrar o refutar la existencia de $f \in P(\Bbb N)\setminus \{\Bbb N\} \rightarrow P(\Bbb N)\setminus \{{\emptyset}\}$ que es suryente (onto) y ${\forall} A \in P(\Bbb N) \setminus \Bbb \{\Bbb N\}.A \subsetneq f(A)$

¿Cómo puedo refutar la existencia de una función?

Intuitivamente no se me ocurre ninguna función como, pero eso no es una prueba matemática.

Answer 1

Esa función no puede existir. De hecho, a lo sumo, un solo individuo puede estar en el rango de dicha función.

Porque supongamos que tal $f$ existe. Fijar los distintos $m, n \in \mathbb N$ . Entonces hay $A,B \subseteq N$ tal que $f(A) = \{m\}$ y $f(B) = \{n\}$ . Desde $$ A \subsetneq \{m\}, $$ se deduce que $A = \emptyset$ y por el mismo razonamiento obtenemos que $B = \emptyset$ . Sin embargo, $f(A) \neq f(B)$ , que es nuestra contradicción deseada.