¿Cómo se demuestra el teorema de la proyección?

Question

Para cualquier punto $y$ la proyección sobre un conjunto convexo cerrado y no vacío $X$ se define como

$$\Pi_X(y) := \arg\min_{x \in X} \frac{1}{2} \| x - y \|_2^2.$$

Estoy tratando de probar para cualquier punto $x\in X$ ,

$$\langle y - \Pi_X(y) , x - \Pi_X(y) \rangle \le 0$$

En primer lugar, dejemos que $f(x)=\frac{1}{2}\|x-y\|_2^2$ , $\nabla f(x)=x-y$ . $f(x)$ es una función convexa porque $\nabla^2f(x)=1\ge0$ . Así que,

$$f(x)\ge f(\Pi_X(y))+\nabla f(\Pi_X(y))^T(x-\Pi_X(y))=f(\Pi_X(y))+(\Pi_X(y)-y)^T(x-\Pi_X(y))\\ \Rightarrow (\Pi_X(y)-y)^T(x-\Pi_X(y)) = \langle \Pi_X(y)-y, x-\Pi_X(y) \rangle \le f(x) - f(\Pi_X(y))\\ \Rightarrow \langle y - \Pi_X(y) , x - \Pi_X(y) \rangle \ge f(\Pi_X(y)) - f(x)$$

Y porque $\Pi_X(y)$ es la proyección de $y$ en $X$ , $f(\Pi_X(y)) \le f(x)$ , $f(\Pi_X(y)) - f(x)\le0$ . En este punto, no puedo continuar mi prueba. ¿Hay algo mal en mi proceso?

Answer 1

Dejemos que $z:=\Pi_X(y)$ , dejemos que $x\in X$ , $t>0$ . Entonces $$ 0 \le f(z+t(x-z)) - f(z) = t(z-y, x-z) + \frac {t^2}2\|x-z\|^2. $$ Esta es la expansión de Taylor de la función cuadrática $f$ . Ahora divide por $t$ y pasar al límite $t\searrow0$ .