Reflejos de mayor dimensión

Question

Me gustaría saber si es posible encontrar una jerarquía en las reflexiones en el siguiente sentido:

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial euclidiano de dimensión finita con producto interior estándar $\langle\, \_ \,,\, \_ \, \rangle$ .

1. un reflejo unidimensional debe ser el mapa $s:V \to V$ , $v \mapsto -v$
2. un reflejo bidimensional debería ser el mapa $V \to \text{Aut}(V)$ , $v \mapsto \left(s_v: w \mapsto w-2 \frac{\langle v,w \rangle}{\langle v,v \rangle}v \right)$
3. Ya no estoy seguro de lo que debería ser un reflejo tridimensional, pero supongo que la(s) involución(es) involucrada(s) $s$ ahora tiene dos índices .
4. ...

Claramente, $s_v(v)=s(v)$ , por lo que creo que $n$ -La reflexión en la dimensión debe ser un caso especial de $n+1$ -reflejos de la dimensión

Perdón por esta pregunta tan vaga, supongo que cuento con que se trata de una estructura muy conocida (si es que existe) que es reconocida inmediatamente por alguien que la conoce..

EDITAR: Para evitar malentendidos, $n$ -Los reflejos dimensionales no necesariamente viven en $n$ -espacios vectoriales de dimensión variable. Mediante un $n$ -no me refiero a la reflexión a través del hiperplano ortogonal a algún vector, excepto para $n=2$ .

Answer 1

De hecho, lo que usted describe para la dimensión $2$ es decir, el mapa $V \to \text{Aut}(V)$ , $v \mapsto \left(s_v: w \mapsto w-2 \frac{\langle v,w \rangle}{\langle v,v \rangle}v \right)$ es la forma general de describir una reflexión en cualquier dimensión.

Verás que tomar $v=1$ le da lo que describe para una dimensión igual a $1$ .

Y ver esto artículo de wikipedia para dimensiones superiores.