Estoy tratando de mostrar que $\ell_{p}$ es un espacio vectorial para cualquier $1\leqslant p<\infty$ . Así que dadas dos series infinitas $\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ y $\left(y_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ tal que ${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|x_{n}\right|^{p}}$ y ${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|y_{n}\right|^{p}}$ convergen y $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ Quiero demostrar que $$\left[\alpha\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}+\beta\left(y_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\right]\in\ell_{p}$$ Para ello tengo que demostrar que $${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|\alpha x_{n}+\beta y_{n}\right|^{p}}<\infty$$ Por alguna razón estoy encontrando esto bastante difícil, he sido infructuoso en acotar esta suma desde arriba por las dos series convergentes con las que empecé.
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Mash See
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Podrías mirar la prueba de la Desigualdad de Minkowski (el caso de la secuencia).
En realidad estás intentando demostrar que es un subespacio de un espacio vectorial mayor, del que sabemos que ya lo es. Por ejemplo, el espacio de las secuencias reales. (si no, tenemos que comprobar todos los axiomas).
Una pista: utilizar y mostrar la desigualdad $(a+b)^p\leqslant 2^{p-1}(a^p+b^p)$ para los no negativos $a$ y $b$ .
