Unión de dos teorías que no contienen los mismos símbolos de lenguaje tiene un modelo.

Question

Sean T1 y T2 dos teorías en el lenguaje L y ninguno de los símbolos de L ocurre en ambos T1 y T2, además tanto T1 como T2 tienen un modelo infinito, ¿cómo puedo mostrar que la unión de T1 y T2 tiene un modelo? Intenté primero tomar m1 como un modelo de T1 y m2 como un modelo de T2, quiero mostrar que la unión de m1 y th(m1) y m2 y th(m2) tiene un modelo, si no entonces existe p en la unión de m1 y th(m1) y a -p en la unión de m2 y th(m2) Dado que T1 y T2 no contienen los mismos símbolos, esto no puede ocurrir y la unión de T1 y T2 debe tener un modelo. O si uso el teorema LST entonces tengo que tanto T1 como T2 tienen un modelo de cardinalidad $X_0$ pero no sé cómo usar esto...

Answer 1

Por el teorema de Löwenheim-Skolem, tanto $T_1$ como $T_2$ tienen un modelo de tamaño $\kappa$ para algún $\kappa$ infinito. Al transferir la estructura, uno puede asumir que el modelo tiene un conjunto subyacente de tamaño $\kappa$ para ambos.

Tu nueva estructura debe ser $\kappa$ con los símbolos de $L$ que aparecen en $T_1$ interpretados como en el modelo de $T_1$, y los símbolos de $L$ que aparecen en $T_2$ interpretados como en el modelo de $T_2. Dadas las hipótesis, esto es consistente. Este nuevo modelo debería funcionar.