Utilizando las definiciones de que una curva elíptica $E$ sobre un campo finito $K$ de las características $p$ es ordinario si $E[p]\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ y supersingular si $E[p]\cong 0$ ¿Cómo puedo demostrar que $E$ es supersingular si y sólo si $\#E(K)\equiv 1 \mod p$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Esto se explica en el libro de texto de referencia Silverman AEC
A partir de ahí $\phi_q(x,y)=(x^q,y^q)\in End(E)$ tiene un endomorfismo dual $\phi_q^*$ tal que $\phi_q^*\phi_q=q\in End(E)$ y $\phi_q^*+\phi_q=t\in \Bbb{Z}\subset End(E)$ . Entonces $\phi_q$ es una raíz de $X^2-Xt+q$
Con $a=\frac{t+\sqrt{t^2-4q}}{2},b=\frac{t-\sqrt{t^2-4q}}{2}$
y $$\#E(\Bbb{F}_{q^n})=\deg(\phi_q^n-1)= (a^n-1)(b^n-1)$$
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Si $X^2-Xt+q$ es irreducible entonces $\Bbb{Z}[\phi_q]$ es isomorfo a $\Bbb{Z}[a]\subset \Bbb{Q}(a)$ , si uno de $a,b$ es una unidad de $\Bbb{Z}[a]/(p)$ entonces para algunos $n$ tendremos que $(a^n -1)(b^n-1)\in (p)$ así que $p | \#E(\Bbb{F}_{q^n})$ .
Así, $E$ es supersingular si $a,b$ no son unidades, lo que implica que $X^2-Xt+q = (X-0)(X-0) \bmod (p)$ es decir. $\#E(\Bbb{F}_q)=q+1-t = 1\bmod p$ .
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Si $X^2-Xt+q$ es reducible entonces $a,b$ son números enteros y $ab=q$ , ya que $\deg(\phi)=\deg(\phi^*)=q$ puis $a=b$ , $q$ es un cuadrado y $X^2-Xt+q=X^2\pm 2q^{1/2} X+q$ así que $\#E(\Bbb{F}_q)=q+1\pm q^{1/2} = 1\bmod p$ .