¿Es la suposición $moa(31)=11774$ en la función moa el valor verdadero?

Question

Se conjetura que el mapa $gnu : \mathbb N\rightarrow \mathbb N$ con $gnu(n)=\ $ el número de grupos de orden $n$

es suryente. La función moa está definida por $moa(n)=min$ { $\ m \in \mathbb N\ |\ gnu(m)=n$ }. En una tabla, me encontré con la conjetura $moa(31)=11774$ . Me sorprende que el valor de moa para un valor tan pequeño $n$ no debe ser conocido (tal vez se sabe ahora).

Sé que $gnu(n)$ no se conoce para algunos valores, por ejemplo $n=2048$ pero pensé que la determinación de $gnu(n)$ sería fácil, si $gnu(n)$ es pequeño, digamos $gnu(n)\le 100$ . La suposición es el menor número libre de cubos $n$ avec $gnu(n)=31$ . No hay $n\le 2,047$ avec $gnu(n)=31$ .

• ¿Es cierto que $gnu(n)$ puede ser difícil de determinar, incluso si es pequeño?
• Es $moa(31)=11774$ ?

Answer 1

Moa(7)=375 por

https://www.math.auckland.ac.nz/~obrien/investigación/gnu.pdf

moa(31) es el más pequeño abierto allí.

Para mí, comprobar si moa(31)=11774 parece difícil, pero quizá no imposible.

Por cada $n$ y todo divisor de $d$ de $n$ , $gnu(d)\leq gnu(n)$ . En particular, nuestra moa debe ser de 5ª potencia. Del mismo modo, si $n=d_1\cdot d_2$ donde $d_1$ y $d_2$ son coprimas entonces, al considerar los productos directos, tenemos $gnu(n)\geq gnu(d_1)\times gnu(d_2)$ .

Si $n$ es libre de cubos, entonces gnu(n) puede calcularse directamente, y de forma similar, la mayoría de los valores de la forma $p^aq$ están en la biblioteca de SmallGroups.

Haciendo un cálculo preliminar utilizando lo anterior, esto deja unos cientos de valores de $n$ hasta 11774 para tratar. La mayoría de ellos son de la forma $p^3qr$ . Probablemente sería necesario un análisis algo más detallado de este caso. (No sería necesario computar el valor exacto de gnu, sino simplemente intentar excluir 31 como posibilidad, utilizando límites inferiores o superiores).