conexión entre los anillos de valoración discreta y los puntos de una curva.

Question

Dejemos que $C$ sea una curva proyectiva irreducible no singular sobre un campo $k$ y que K sea su campo de funciones. Se aplica que $(k[X,Y]/I(C))_{(X-a,Y-b)}$ (es decir, la localización de $k[X,Y]/I(C)$ en $(X-a,Y-b)$ ) es un anillo de valoración discreto con respecto a $K$ y $k$ , donde $(a,b)$ es un punto en $C$ . Mi pregunta es ahora:

¿Puede cualquier anillo de valoración discreta con respecto a $K$ y $k$ vinculado a $C$ ?

(tal vez a algunos puntos o a un ideal primo de $k[X,Y]/I(C)$ )?

Tenga en cuenta que si $k$ es algebraico cerrado cualquier anillo de valoración discreto es un anillo local de algún punto de $C$ .

Answer 1

Supongamos que $C/k$ es una curva proyectiva integral. Entonces, existe una biyección

$$\left\{\text{points of }C\right\}\longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}\text{discrete valuations}\\\text{of }K(c)\\ \text{which are trivial}\\ \text{on }k\end{matrix}\right\}$$

El mapeo es, como usted indica, el envío de $p$ a la valoración $v_p$ que es el "orden de desaparición de una función en $p$ ".

Se trata de una aplicación de los criterios valorativos de la propiedad.