Me interesa encontrar la probabilidad de que la estadística de tercer orden ( $X_3$ ) es mayor que x, cuando la estadística de orden $X_1,X_2,...,X_n$ son i.i.d. $U(0,1)$ .
Supongo que $n\geq 3$
Hasta ahora consigo que la probabilidad de que esto ocurra sea la misma que uno menos el suceso complementario, donde el suceso complementario es que (i) la estadística de mayor orden ( $X_1$ ) está por debajo de x, (ii) sólo el estadístico de mayor orden está por encima de x, y (iii) sólo el estadístico de mayor y segundo orden están por encima de x. Por lo tanto, la probabilidad de que al menos el estadístico de tercer orden esté por encima de x es:
$ \mathbb{P}(X_3>x) = 1 - \left(\underbrace{\mathbb{P}(X_1<x)}_\text{(i)} + \underbrace{\mathbb{P}(X_1>x, X_2<x)}_\text{(ii)} + \underbrace{\mathbb{P}(X_2>x, X_3<x)}_\text{(iii)}\right)\\ = 1 - \left(\mathbb{P}(X_1<x) + \mathbb{P}(X_1>x) \mathbb{P}(X_2<x) + \mathbb{P}(X_2>x)\mathbb{P}(X_3<x)\right) \\ = 1- \left(\mathbb{P}(X_i<x)^n + n (1-\mathbb{P}(X_i<x))\mathbb{P}(X_i<x)^{n-1} + n (1-\mathbb{P}(X_i<x))^2\mathbb{P}(X_i<x)^{n-2} \right)\\ = 1- \left( r^n + n(1-r)r^{n-1}+ n(1-r)^2r^{n-2}\right) $
Pero no estoy del todo seguro de haber acertado, y no he podido encontrar ninguna fuente que confirme mi ecuación. Así que, por favor, si alguien me ayuda a entender si estoy en el camino correcto, o lo estoy haciendo mal, lo agradecería mucho :)
EDITAR: y asumo que $X_i$ es cualquiera de los $X_1,X_2,...,X_n$ no necesariamente en orden.