¿Cuál es la probabilidad del tercer estadístico de orden más alto?

Question

Me interesa encontrar la probabilidad de que la estadística de tercer orden ( $X_3$ ) es mayor que x, cuando la estadística de orden $X_1,X_2,...,X_n$ son i.i.d. $U(0,1)$ .
Supongo que $n\geq 3$

Hasta ahora consigo que la probabilidad de que esto ocurra sea la misma que uno menos el suceso complementario, donde el suceso complementario es que (i) la estadística de mayor orden ( $X_1$ ) está por debajo de x, (ii) sólo el estadístico de mayor orden está por encima de x, y (iii) sólo el estadístico de mayor y segundo orden están por encima de x. Por lo tanto, la probabilidad de que al menos el estadístico de tercer orden esté por encima de x es:
$ \mathbb{P}(X_3>x) = 1 - \left(\underbrace{\mathbb{P}(X_1<x)}_\text{(i)} + \underbrace{\mathbb{P}(X_1>x, X_2<x)}_\text{(ii)} + \underbrace{\mathbb{P}(X_2>x, X_3<x)}_\text{(iii)}\right)\\ = 1 - \left(\mathbb{P}(X_1<x) + \mathbb{P}(X_1>x) \mathbb{P}(X_2<x) + \mathbb{P}(X_2>x)\mathbb{P}(X_3<x)\right) \\ = 1- \left(\mathbb{P}(X_i<x)^n + n (1-\mathbb{P}(X_i<x))\mathbb{P}(X_i<x)^{n-1} + n (1-\mathbb{P}(X_i<x))^2\mathbb{P}(X_i<x)^{n-2} \right)\\ = 1- \left( r^n + n(1-r)r^{n-1}+ n(1-r)^2r^{n-2}\right) $

Pero no estoy del todo seguro de haber acertado, y no he podido encontrar ninguna fuente que confirme mi ecuación. Así que, por favor, si alguien me ayuda a entender si estoy en el camino correcto, o lo estoy haciendo mal, lo agradecería mucho :)

EDITAR: y asumo que $X_i$ es cualquiera de los $X_1,X_2,...,X_n$ no necesariamente en orden.

Answer 1

Podemos utilizar un método similar al de su pregunta anterior, como probablemente sospeche. :)

Probabilidad de que al menos dos de $X_1,X_2,...,X_n$ ¿las variables uniformes iid están por encima de r?

Para aclarar la notación, supongamos que $X_i \sim U[0, 1], i = 1, …, n$ son variables aleatorias uniformes, y denotamos el $i^{th}$ ordenar la estadística como $X_{(i)}$ . Como se busca el tercer estadístico de mayor orden, en esta notación buscamos el evento $X_{(n-2)} > x$ . Pero entonces el evento complementario $X_{(n-2)} < x$ es precisamente el caso de que a lo sumo $2$ los elementos superan $x$ ¡! Esto nos da $$ \begin{align*} P(X_{(n-2)} > x) &= 1 - P(X_{(n-2)} < x) \\ &= 1 - [P(2 \ X_i’s \text{ exceed } x) + P(1 \ X_i’s \text{ exceed } x) + P(0 \ X_i’s \text{ exceed } x)] \\ &= 1 - \left[\binom{n}{2}(1-x)^2x^{n-2} + \binom{n}{1}(1-x)x^{n-1} + \binom{n}{0}x^n\right] \\ &= \boxed{1 - \frac{n(n-1)}{2} (1-x)^2x^{n-2} - n(1-x)x^{n-1} - x^n}. \end{align*} $$

En cuanto a tu planteamiento, es casi correcto; el único problema es el cálculo de (iii). En el caso (iii), quieres 2 $X_i$ de arriba $x$ y el otro $n-2$ $X_i$ de abajo $x$ . La probabilidad de que $(X_1 > x, X_2 > x, X_3 < x, …, X_n < x)$ es $(1-x)^2 x^{n-2}$ pero hay $\binom{n}{2}$ diferentes disposiciones de la $X_i$ que le dan una muestra legal que satisface las condiciones del evento (iii), dándole una probabilidad total de $\binom{n}{2} (1-x)^2 x^{n-2}$ .

Espero que esto ayude.