divisores singulares en un sistema lineal completo

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad algebraica proyectiva no singular sobre $\mathbb{C}$ . Sea $L$ sea un haz de líneas libres de punto base. El teorema de Bertini afirma que los divisores generales en el sistema lineal completo $|L|$ son no singulares.

Un ejemplo es $X=\mathbb{P}^n$ y $L=\mathcal{O}(m)$ , para $m\ge 2$ . Los divisores singulares de $|L|$ siempre forma una hipersuperficie (codimensión =1).

Mi pregunta es:

¿Pueden los divisores singulares formar un conjunto algebraico de codimensión arbitraria en $|L|$ para $(X, L)$ ?

Gracias.

Answer 1

La respuesta es sí. He aquí un ejemplo que generaliza el de Serge y da una codimensión arbitraria.

Considere el paquete de líneas $L=O(1)\boxtimes O(1)$ en $\mathbb CP^1\times \mathbb CP^n$ . Una sección de dicho haz tiene forma $$\sum_{i=0,j=0}^{i=1,j=n}a_{ij}x_iy_j=0,$$ es decir $|L|=\mathbb C^{2n+2}$ . Una sección es singular si la matriz $a_{ij}$ tiene rango $1$ . Esto ocurre en la codimensión $n$ . Si el rango de $a_{ij}$ es dos la sección es suave y es un $\mathbb CP^{n-1}$ haz de la mano sobre $\mathbb P^1$ .

Answer 2

No estoy seguro de que sea "arbitrario", pero existen bastantes ejemplos en los que los divisores singulares no forman una hipersuperficie. Basta con considerar una variedad suave $X\subset\mathbb P^n$ incrustado por un sistema lineal completo y tal que la variedad dual $X^*\subset (\mathbb P^N)^*$ no es una hipersuperficie. El ejemplo más sencillo es la variedad Segre $\mathbb P^1\times \mathbb P^2\subset\mathbb P^5$ (o cualquier $X=\mathbb P_C(E)$ , donde $E$ es un haz vectorial de rango $>2$ sobre un cueve $C$ , incrustado por $\mathcal O_{X|C}(1)$ ); también hay otros ejemplos.