La solución de un especial de la Ecuación de cuarto grado.

Question

Resolver para $x$
$$(x^2-4)(x^2-2x)=2$$

He probado los Racionales Teorema de la Raíz y se encontró que no hay racional raíces. Además, el polinomio $p(x)=(x^2-4)(x^2-2x)-2$ es irreducible ya que cuando traté de expansión y la escritura como un producto de dos cuadráticas, no se entero de soluciones para los coeficientes. También me deprime el cuarto grado polinomio $p(x)$ con la esperanza de que el coeficiente de $x$ también se desvanecen junto con el coeficiente de $x^3$, dándome un biquadratic. Pero eso no sucedió. También he intentado usar las sustituciones, pero ninguno de ellos ha trabajado hasta el momento.

Cualquier ayuda será apreciada.
Gracias.

Answer 1

$$(x^2-4)(x^2-2x)=2$$ $$\Rightarrow x^4-2x^3-4x^2+8x-2=0$$ $$\Rightarrow (x^2-x-1)^2-3(x-1)^2=0$$ $$\Rightarrow (x^2-x-1+\sqrt 3\ (x-1))(x^2-x-1-\sqrt 3\ (x-1))=0$$ $$\Rightarrow x^2+(\sqrt 3-1)x-1-\sqrt 3=0\ \ \text{or}\ \ x^2-(\sqrt 3+1)x-1+\sqrt 3=0$$ $$\Rightarrow x=\frac{-\sqrt 3+1\pm\sqrt{8+2\sqrt 3}}{2},\frac{\sqrt 3+1\pm\sqrt{8-2\sqrt 3}}{2}.$$