Si $f(x)=x^2$ para todos $x\not\in\mathbb{Q}\cap[0,1]$ y $f(x)=0$ para todos $x\in\mathbb{Q}\cap[0,1]$ entonces $f$ es integrable por Lebesgue en $[0,1]$ ?

Question

Si $f(x)=x^2$ para todos $x\not\in\mathbb{Q}\cap[0,1]$ y $f(x)=0$ para todos $x\in\mathbb{Q}\cap[0,1]$ entonces $f$ es integrable por Lebesgue en $[0,1]$ ?

Estoy aprendiendo sobre la integración de Lebesgue, pero tengo problemas para determinar si ese tipo de funciones son integrables de Lebesgue o no. Sé que $f$ no es integrable de Riemann en ese intervalo, ya que $f$ es discontinua en todos los $x\in(0,1]$ . ¿Qué argumento puedo utilizar para demostrar o refutar la integrabilidad de Lebesgue de $f$ ?

Answer 1

Obsérvese que basta con demostrar que $f$ es medible. Enumerar los racionales en [0,1] como $\{q_1,q_2,....\}$ , a continuación, defina las funciones $f_n : [0,1] \to [0,1]$ con $f_n(x) = x^2$ para $x \neq q_n$ , $f_n(q_n)=0$ . Está claro que cada $f_n$ es medible ya que es incluso continua a trozos. Ahora su $f$ es el ínfimo de un número contable de $f_n$ y, por tanto, medible.