Una integral doble (diferenciación bajo el signo de la integral)

Question

Mientras trabajaba en un problema de física, obtuve la siguiente integral doble que depende del parámetro $a$ :

$$I(a)=\int_{0}^{L}\int_{0}^{L}\sqrt{a}e^{-a(x-y+b)^2}dxdy$$

donde $L$ y $b$ son constantes.

Ahora bien, esta integral obviamente no tiene una forma cerrada en términos de funciones elementales. Sin embargo, por consideraciones físicas se deduce que la derivada de esta integral $\frac{dI}{da}$ tiene una solución de forma cerrada en términos de funciones exponenciales. Por desgracia, mis habilidades matemáticas no son lo suficientemente buenas como para obtener este resultado directamente de la integral. Entonces, ¿cómo puede un matemático resolver este problema?

Answer 1

Introducir nuevas variables $u$ , $v$ por medio de $$x={1\over2}(u+v+L)\ ,\quad y={1\over2}(-u+v+L)$$ y obtener $$I(a)=\int_{|u|+|v|\leq L}{\sqrt{a}\over2}\exp\bigl(-a(u+b)^2\bigr){\rm d}(u,v)\ .$$ Ahora la integral interna, con respecto a $v$ , corriendo de $-(L-|u|)$ a $L-|u|$ es elemental, y la integral exterior resultante puede escribirse como una combinación lineal de integrales de la forma $\int_\ldots^\ldots (u+b)\exp\bigl(-a(u+b)^2\bigr) du$ y $\int_\ldots^\ldots \exp\bigl(-a(u+b)^2\bigr)du$ Los primeros también son elementales.

Answer 2

Hoy en día muchos matemáticos (incluido yo -:)) se conformarían con utilizar algún programa para tener $$I'(a)=\frac{e^{-a (b+L)^2} \left(2 e^{a L (2 b+L)}-e^{4 a b L}-1\right)}{4 a^{3/2}}.$$

En cuanto a la prueba, pon $t=1/a$ y que $G(b,t)=e^{-b^2/t}/\sqrt{\pi t}\ $ sea una solución fundamental de la ecuación del calor $u_t-u_{bb}/4=0\ $ . Entonces $$ u(b,t)=I(1/a)/\sqrt\pi =\int_{0}^{L}\int_{0}^{L}G(b+x-y,t)\,dxdy. $$ Si para juguetear un poco sobre lo que sucede entonces $t\to+0$ tendremos que $u$ es una solución del problema de Cauchy con condición inicial $u(b,0)=\psi(b)$ donde $\psi(b)=L-|b|$ entonces $|b|\le L$ y $\psi(b)=0$ de lo contrario. Así que $u(b,t)=\int_{-\infty}^\infty G(b-z,t)\psi(z)\,dz\,\,\,$ . Tomando la transformada de Fourier con respecto a b tenemos $$ \tilde u(\xi,t)=\tilde \psi(\xi) \tilde G(\xi,t)=-\frac{e^{-i L \xi} \left(-1+e^{i L \xi}\right)^2}{\sqrt{2 \pi } \xi^2} \frac{e^{-\frac{\xi ^2 t}{4}}}{\sqrt{2 \pi }}= $$ $$ -\frac{\left(-1+e^{i L \xi}\right)^2 e^{-\frac{\xi ^2 t}{4}-i L \xi}}{2 \pi \xi^2},$$ $$ \tilde u_t(\xi,t)=\frac{\left(-1+e^{i L \xi }\right)^2 e^{-\frac{1}{4} \xi (\xi t+4 i L)}}{8 \pi }. $$ Tomando la transformada inversa de Fourier, etc., se obtendrá la respuesta anterior.