También podríamos ensuciarnos con el $\epsilon-\delta$ acercamiento. :)
Como en cualquier prueba, partimos de los conocimientos que nos dan los supuestos y vemos hacia dónde tenemos que ir. Debería estar claro a dónde tenemos que ir dada la definición del límite. Así que dejemos que $\epsilon>0$ .
Los supuestos nos dicen entonces que, para $x\to a^+$ Hay un $\eta>0$ tal que para todo $x$ , $$0<x-a<\eta \implies |f(x) - L|<\epsilon$$ y que, para $x\to a^-$ Hay un $\gamma>0$ tal que para todo $x$ , $$0<a-x<\gamma \implies |f(x) - L|<\epsilon$$
La definición del límite nos dice que tenemos que encontrar un $\delta>0$ tal que para todo $x$ , $$0<|x-a|<\delta \implies |f(x) - L|<\epsilon$$
Como la mayoría de los $\epsilon-\delta$ pruebas, tenemos que hacer una elección inteligente con respecto a nuestro $\delta$ . Recomiendo dibujar lo que se aproxima $a$ desde la izquierda y la derecha se ve como en el $x$ -eje dado $\gamma$ y $\eta$ como en el caso anterior. Viniendo de la derecha, sabemos que una vez que podemos conseguir $x$ menos de $a+\eta$ tenemos $|f(x)-L|<\epsilon$ . Viniendo de la izquierda, sabemos que una vez que podemos conseguir $x$ mayor que $a-\gamma$ tenemos $|f(x)-L|<\epsilon$ . Así que necesitamos un $\delta$ de tal manera que una vez $x$ está dentro de $a-\delta$ o $a+\delta$ tenemos $|f(x)-L|$ .
Si se esboza esta situación, quedará claro que hay que dejar $\delta$ sea menor que ambos $\gamma$ y $\eta$ . Esto aprieta $x$ en lo suficientemente cerca como para satisfacer las dos condiciones descritas anteriormente. Una opción es dejar que $\delta = \min\{\gamma, \eta\}$ , es decir, dejar que $\delta$ sea igual al menor de los dos números, $\gamma$ y $\eta$ . Entonces $\delta\le\gamma$ y $\delta\le\eta$ .
A partir de ahí, dejaré que se resuelvan los detalles para demostrar que esto lleva a satisfacer a ambos $0<x-a<\eta$ y $0<a-x<\gamma$ lo que implicará entonces $|f(x)-L|<\epsilon$ y por lo tanto $\lim_{x\to a} f(x) = L$ .
