Separabilidad, acotación e isomorfismo en el espacio de Banach.

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema pero no entiendo muy bien por dónde empezar, qué camino tomar. Cualquier ayuda se agradecería.

Si $(X,\|.\|)$ es un espacio de Banach separable,

a) ¿Por qué la esfera de la unidad $S=\{x\in X ;\|x\|=1\}$ separable en la topología relativa?

b) Si $(x_n)_{n\in \mathbb N } \subset S$ es una secuencia densa y $T:\ell^1(\mathbb N) \to X $ definido por $T((a_n)_{n\in\mathbb N})=\sum_{n\in \mathbb N }a_n x_n$ ¿Por qué? $T$ ¿acotado y surjetivo?

¿Es cierto que $X$ es topológicamente isomorfo a $\ell^1(\mathbb {N})/\mathrm{Ker}(T)$ ?

Gracias

Answer 1

A) Un espacio métrico es separable si admite una base contable de conjuntos abiertos. De aquí se deduce fácilmente que todo subconjunto de un espacio métrico separable sigue siendo un espacio métrico separable.

En su situación particular, hay una prueba más sencilla: si $\pi$ es la proyección radial sobre la esfera unitaria, y si $D$ es un subconjunto denso contable de $X$ entonces $\pi(D)$ es un subconjunto denso contable de la esfera unitaria.

b) Limitación de $T$ se desprende inmediatamente de la definición: ¿cómo se puede limitar $\left| \sum_n a_n x_n \right|$ en términos de $\|a\|_1 = \sum_n |a_n|$ ? Para la subjetividad, observe que cada $x_n$ pertenece al rango de $T$ . Por lo tanto, la gama de $T$ contiene el cierre del tramo lineal de $\{x_n\}$ que es todo el espacio. El hecho de que $X$ es topológicamente isomorfo a $\ell^1 / \ker(T)$ entonces se deduce del teorema del mapa abierto.