¿Es esto una prueba del límite $\lim_{x \to 2}(x^2 - 6x) = -8$ ¿legítimo?

Question

Se me presenta la siguiente tarea:

Utiliza la definición formal del límite para demostrar el límite

$$\lim_{x \to 2}(x^2 - 6x) = -8$$

La forma en que lo he resuelto es muy diferente de la solución presentada por la hoja de respuestas del examen, por lo que me pregunto si mi prueba es legítima:

Dejemos que $|x - 2| < \delta$ . Por simplicidad, acotamos delta para que $\delta < 1$ . Por lo tanto, tenemos que $|x-2| < 1$ . Ahora, dejemos que $|x^2 - 6x + 8| < \epsilon$ . Por lo tanto, tenemos que $|x-2||x-4| < \epsilon$ . Ya tenemos eso $|x-2| < 1$ , lo que implica $|x - 2 - 2| < 1 + 2$ (por favor, díganme si mi lógica de valores absolutos está equivocada), por lo tanto $|x-4|<3$ . Esto implica $|x-2||x-4|<\epsilon<3\delta$ hay un valor apropiado para $\delta$ sería $\delta = \frac{\epsilon}{3}$

Answer 1

Tu afirmación sobre el valor absoluto está bien. No veo por qué has dicho $\epsilon$ es menor que $3 \delta$ . El punto detrás de la prueba es que, dado un $\epsilon$ para producir un número $\delta$ que satisface la condición requerida. En su argumento anterior usted comenzó con $\delta$ (¿Qué es eso?) y sólo al final dijo que $\delta$ debe ser $\epsilon / 3$ . Aunque su trabajo es una buena forma de encontrar $\delta$ El núcleo de la prueba es demostrar que su valor de $\delta$ funciona. En cierto sentido, tu trabajo de arriba es un trabajo de raspado. Una prueba completa sería algo así: Dejemos que $\epsilon > 0$ y que $\delta <$ min $\{1, \epsilon/3\}$ . Entonces, si $|x-2| < \delta$ tenemos $|x-2| < \delta < 1$ Así que $|x-4| = |x-2 + (-2)| \leq |x-2| + |-2| < 3$ Así que $|x^2-6x+8| < 3\delta < \epsilon$ . Por lo tanto, $\lim_{x \to 2}(x^2 - 6x) = -8.$

Answer 2

Dejemos que $\epsilon > 0$

$|x^2 - 6x + 8| = |x-2||x-4|$

Ahora quieres un límite para $|x-4|$ Así que toma $|x-2|<1$

$\therefore |x-4|= |x-2-4+2| \le |x-2|+|-2| < 1 + 2 < 3$

(utilizando la desigualdad del triángulo $|x+y| \le |x|+|y|$ )

$\implies |x-2||x-4|<3|x-2|< \epsilon$

$\therefore |x-2|< \frac{\epsilon}{3}$

Tome $\delta = min \lbrace 1, \frac{\epsilon}{3} \rbrace$ y ya está.