¿Conocemos la fuerza de consistencia de la Hipótesis Cardinal Singular que falla en una cofinalidad incontable?

Question

Supongamos que $\kappa$ es un cardinal de límite fuerte. La hipótesis del cardinal singular afirma $2^\kappa=\kappa^+$ . Sabemos que el fracaso de SCH requiere grandes cardinales, y de hecho es equiconsistente con un cardinal medible $\kappa$ satisfaciendo $o(\kappa)=\kappa^{++}$ .

Pero este fracaso está en $\aleph_\omega$ . Supongamos que queremos más.

Supongamos que queremos que el fallo se produzca en un par de puntos aislados. Bien, no es difícil rehacer las construcciones estándar y conseguir justo eso. Pero, ¿qué ocurre cuando tenemos puntos límite?

Además, según el teorema de Silver, si SCH falla en $\kappa>\operatorname{cf}(\kappa)>\omega$ entonces hay un subconjunto estacionario de $\kappa$ donde el SCH fracasó.

¿Cuál sería la fuerza de consistencia cuando $\kappa$ es un límite singular de los cardenales singulares, y SCH falla cofinalmente por debajo de $\kappa$ ? ¿Y si exigimos $\kappa$ para ser de cofinalidad incontable?

Como pregunta al margen, ¿qué pasaría si $\kappa$ con cofinalidad incontable, sí satisface a SCH, pero un subconjunto no acotado (que tiene que ser no estacionario, por supuesto) de ella no?

Answer 1

Supongamos que $\kappa$ es un cardenal singular y hay $cf(\kappa)$ -muchos cardenales medibles $\lambda < \kappa$ con $o(\lambda)=\lambda^{++}$ cofinal en $\kappa.$ Entonces se puede realizar una iteración tipo Prikry y obtener el fallo de $SCH$ al final muchos cardenales singulares abajo $\kappa.$

Ahora supongamos que también queremos para $SCH$ fracasar en $\kappa$ mismo. Primero consideremos la cofinalidad contable.

Supongamos que $\kappa$ es un cardinal medible con $o(\kappa)=\kappa^{++}+1.$ Entonces podemos obtener una extensión en la que $cf(\kappa)=\omega, 2^\kappa=\kappa^{++}$ y para cofinanciar muchos cardenales singulares $\lambda$ debajo de $\kappa$ tenemos $2^{\lambda}=\lambda^{++}$ . No sé si este supuesto es realmente necesario o si se puede reducir.

Para la cofinalidad incontable, digamos $\theta$ , un cardinal medible $\kappa$ con $o(\kappa)=\kappa^{++}+\theta$ es suficiente. Como entonces se puede encontrar primero una extensión en la que $2^\kappa=\kappa^{++}$ y tal que en la extensión, $o(\kappa)=\theta$ . Entonces, si se realiza el forzamiento de Magidor para cambiar la cofinalidad de $\kappa$ a $\theta,$ puedes conseguir un club $C$ de los cardenales singulares de abajo $\kappa$ tal que para todo $\lambda \in C, 2^\lambda=\lambda^{++}$ .

Por lo que sé, si requerimos $\theta=cf(\kappa)> \omega_1$ la hipótesis del gran cardinal es óptima, pero para $\theta=\omega_1,$ Creo que está abierto si esta suposición es óptima.