Mostrar si $2$ y $1+\sqrt{-5}$ pertenecen al mismo ideal principal $I$ de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ entonces $I=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ .

Question

Mostrar si $2$ y $1+\sqrt{-5}$ pertenecen al mismo ideal principal $I$ de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ entonces $I=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ .

Hasta ahora he demostrado que 2 y $1+\sqrt{-5}$ es irreducible y no son asociados.

Answer 1

Esta respuesta utiliza la información, dada en OP, que $2, 1 + \sqrt{-5}$ son elementos irreducibles que no están asociados.

Supongamos que $I = (a)$ . Si $\{2, 1 + \sqrt{-5}\} \subset I $ entonces $a \mid 2$ y $a \mid 1 + \sqrt{-5}$ . Así, como $2, 1 + \sqrt{-5}$ son irreducibles:

• o bien $a$ es una unidad,
• o $a$ se asocia a $2$ y $a$ se asocia a $1 + \sqrt{-5}$ .

Sin embargo, la segunda parte implicaría que $2$ y $1 + \sqrt{-5}$ están asociados, lo que no es el caso. Así que $a$ es una unidad y ya está.

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Nótese que este argumento funciona para dos elementos irreducibles y no asociados en un dominio. Si un ideal de principio $(a)$ contiene dos elementos $b_1,b_2$ entonces $a \mid b_1$ y $a \mid b_2$ . Así que, $a$ es un divisor común de $b_1$ y $b_2$ . Sin embargo, si $b_i$ es irreducible, entonces los únicos divisores son las unidades y los asociados. Así, si $b_1$ y $b_2$ no son asocaitas, sólo quedan unidades como divisiones comunes.

Answer 2

Supongamos que $2$ y $1+\sqrt{-5}$ están en un ideal generado por $a+b\sqrt{-5}$ .

Empecemos con la ecuación $$2=(a+b\sqrt{-5})(c+d\sqrt{-5})$$ tomar módulos y cuadrar: $$4=(a^2+5b^2)(c^2+5d^2)$$

Ahora está claro que $b=d=0$ y $a^2c^2=4$ .

Pero, por otro lado, $$1+\sqrt{-5}=(a+b\sqrt{-5})(c'+d'\sqrt{-5})=ac'+ad'\sqrt{-5}$$

Esto produce: $$ac'=1$$ $$ad'=1$$

Así que $|a|=1$ . y por lo tanto, el generador de nuestro ideal es $1$ o $-1$ .

Answer 3

Sólo he pensado en refundir el argumento de ajotatxe de una manera ligeramente diferente.

• Obsérvese que tenemos una función multiplicativa $ N: \Bbb{Z}[\sqrt{-5}] \to \Bbb{N}_{0} $ definido por $$ \forall (a,b) \in \Bbb{Z}^{2}: \quad N(a + b \sqrt{-5}) \stackrel{\text{df}}{=} a^{2} + 5 b^{2}. $$
• Supongamos que $ \{ 2,1 + \sqrt{-5} \} \subseteq \langle x \rangle $ para algunos $ x \in \Bbb{Z}[\sqrt{-5}] $ .
• Como $ N(2) = 4 $ tenemos $ N(x) | 4 $ y como $ N(1 + \sqrt{-5}) = 6 $ tenemos $ N(x) | 6 $ .
• Por lo tanto, $ N(x) \in \{ 1,2 \} $ .
• Sin embargo, es fácil comprobar que $ 2 $ no está en el rango de $ N $ , por lo que debemos tener $ N(x) = 1 $ .
• Por lo tanto, $ x = \pm 1 $ , lo que da como resultado $ \langle x \rangle = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] $ .